A B. 3816. feladat (2005. április)

B. 3816. Az ABC háromszög beírt körének középpontja O. Az AO, BO, CO szakaszok O-n túli meghosszabbításai a körülírt kört rendre az A₁, B₁, C₁ pontokban metszik. Mutassuk meg, hogy az A₁B₁C₁ háromszög területe

$\frac{R^2}{2}(\sin\alpha+\sin\beta+\sin\gamma),$

ahol R a körülírt kör sugara, $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ pedig az eredeti ABC háromszög szögei.

(4 pont)

A beküldési határidő 2005. május 17-én LEJÁRT.

Megoldás. Legyen x= $\alpha$ /2, y= $\beta$ /2 és z= $\gamma$ /2, ekkor x+y+z=90^o. Az A₁C ívhez tartozó kerületi szög x, a B₁C ívhez tartozó pedig y, ezért az A₁B₁ szakasz hossza a szinusz-tétel szerint c₁=2Rsin (x+y)=2Rcos z. Hasonlóképpen kapjuk, hogy a B₁C₁, illetve C₁A₁ szakaszok hossza a₁=2Rcos x és b₁=2Rcos y. Az A₁B₁C₁ háromszög területe tehát

${a_1b_1c_1\over 4R}=2R^2\cos x\cos y\cos z.$

Ennek megfelelően a

sin 2x+sin 2y+sin 2z=4cos xcos ycos z

összefüggést kell igazolnunk.

A baloldali kifejezés így írható át:

sin 2x+sin 2y+sin (2x+2y)=sin 2x+sin 2y+sin 2xcos 2y+cos 2xsin 2y.

Ha a jobboldali kifejezést is átalakítjuk:

4cos xcos ysin (x+y)=2cos²y(2sin xcos x)+2cos²x(2sin ycos y)=

=(cos 2y+1)sin 2x+(cos 2x+1)sin 2y,

akkor a bizonyítandó egyenlőség már könnyűszerrel leolvasható.

Statisztika:

95 dolgozat érkezett.

4 pontot kapott: Árvay Anna, Árvay Zsófia, Bitai Tamás, Blázsik Zoltán, Bodzsár Erik, Bogár 560 Péter, Csaba Ákos, Cseh Ágnes, Csorba János, Dobos Gábor, Eckert Bernadett, Estélyi István, Fischer Richárd, Győrffy Lajos, Horváth 017 Zoltán, Hujter Bálint, Kardos Kinga Gabriela, Károlyi Márton, Kisfaludi-Bak Sándor, Kiss 243 Réka, Kiss-Tóth Christian, Klimaj Zoltán, Knipl Diána, Komáromy Dani, Kónya 495 Gábor, Kornis Bence, Kovács 129 Péter, Kunsági-Máté Éva, Kutas Péter, Lovász László Miklós, Lukucz Balázs, Maros Máté Előd, Nagy 224 Csaba, Nagy 235 János, Páldy Sándor, Pálovics Róbert, Pásztor 001 Attila, Petrás András, Poronyi Balázs, Pusztai Tamás, Rábai András, Strenner Balázs, Szabó 108 Tamás, Szalóki Dávid, Szegvári Gábor, Szentandrási István, Tossenberger Anna, Ureczky Bálint, Varga 111 Péter.

3 pontot kapott: 42 versenyző.

2 pontot kapott: 3 versenyző.

0 pontot kapott: 1 versenyző.

A KöMaL 2005. áprilisi matematika feladatai

95 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	Árvay Anna, Árvay Zsófia, Bitai Tamás, Blázsik Zoltán, Bodzsár Erik, Bogár 560 Péter, Csaba Ákos, Cseh Ágnes, Csorba János, Dobos Gábor, Eckert Bernadett, Estélyi István, Fischer Richárd, Győrffy Lajos, Horváth 017 Zoltán, Hujter Bálint, Kardos Kinga Gabriela, Károlyi Márton, Kisfaludi-Bak Sándor, Kiss 243 Réka, Kiss-Tóth Christian, Klimaj Zoltán, Knipl Diána, Komáromy Dani, Kónya 495 Gábor, Kornis Bence, Kovács 129 Péter, Kunsági-Máté Éva, Kutas Péter, Lovász László Miklós, Lukucz Balázs, Maros Máté Előd, Nagy 224 Csaba, Nagy 235 János, Páldy Sándor, Pálovics Róbert, Pásztor 001 Attila, Petrás András, Poronyi Balázs, Pusztai Tamás, Rábai András, Strenner Balázs, Szabó 108 Tamás, Szalóki Dávid, Szegvári Gábor, Szentandrási István, Tossenberger Anna, Ureczky Bálint, Varga 111 Péter.
3 pontot kapott:	42 versenyző.
2 pontot kapott:	3 versenyző.
0 pontot kapott:	1 versenyző.

Már regisztráltál?
Új vendég vagy?