A B. 3818. feladat (2005. április)

B. 3818. Egy tetraédernek van egy olyan csúcsa, amelyből kiinduló három él mindegyike egység hosszúságú, és közülük bármely kettő 45 fokos szöget zár be egymással. Számítsuk ki a tetraéder térfogatát.

Cserti József (Budapest) javaslata alapján

(4 pont)

A beküldési határidő 2005. május 17-én LEJÁRT.

Megoldás. Legyen az adott csúcs O. A tertraéder O-val szemközti lapja egy ABC szabályos háromszög, melynek a élhosszát meghatározhatjuk, ha az OAB háromszögre felírjuk a koszinusz-tételt:

$a^2=OA^2+OB^2-2OA\cdot OB\cos45^\circ=2-\sqrt{2}.$

Az ABC háromszög magassága $m=\sqrt{3}a/2$ , vagyis a háromszög területe $T=am/2=\sqrt{3}a^2/4$ . Ha a háromszög középpontját S jelöli, akkor AS=2m/3, vagyis AS²=a²/3. Az OSA derékszögű háromszögre a Pithagorasz-tételt felírva számíthatjuk ki a tetraéder h magasságát:

$h^2=OS^2=OA^2-AS^2=1-{2-\sqrt{2}\over 3}={1+\sqrt{2}\over 3}.$

A tetraéder térfogata tehát

$V={1\over 3}Th={1\over 3}\cdot{\sqrt{3}(2-\sqrt{2})\over 4}\cdot {\sqrt{1+\sqrt{2}}\over \sqrt{3}}= {(2-\sqrt{2})\sqrt{1+\sqrt{2}}\over 12}.$

Statisztika:

138 dolgozat érkezett.

4 pontot kapott: 95 versenyző.

3 pontot kapott: 30 versenyző.

2 pontot kapott: 4 versenyző.

1 pontot kapott: 6 versenyző.

0 pontot kapott: 3 versenyző.

A KöMaL 2005. áprilisi matematika feladatai

138 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	95 versenyző.
3 pontot kapott:	30 versenyző.
2 pontot kapott:	4 versenyző.
1 pontot kapott:	6 versenyző.
0 pontot kapott:	3 versenyző.

Már regisztráltál?
Új vendég vagy?