A B. 3819. feladat (2005. április)

B. 3819. Mutassuk meg, hogy ha A₁B₁, A₂B₂ és A₃B₃ egy kör három párhuzamos húrja, akkor az A₁, A₂, illetve A₃ pontból rendre a B₂B₃, B₃B₁ és B₁B₂ egyenesre állított merőlegesek egy ponton mennek át.

(5 pont)

A beküldési határidő 2005. május 17-én LEJÁRT.

Megoldás. Vegyünk fel úgy egy derékszögű koordinátarendszert, hogy az x tengely párhuzamos legyen a húrokkal, az origó pedig essen egybe a kör középpontjával. Ha a B_i pont koordinátái (x_i,y_i) akkor az A_i ponté (-x_i,y_i). Jegyezzük meg, hogy y₁, y₂ és y₃ között nincsen két egyenlő. Tetszőleges B₂B₃-ra merőleges egyenes meredéksége (x₂-x₃)/(y₃-y₂) lesz. Ha egy ilyen egyenes áthalad az A₁(-x₁,y₁) ponton, akkor egyenlete

lesz, amit a kényelmesebb

(x₃-x₂)x+(y₃-y₂)y=(x₂-x₃)x₁+(y₃-y₂)y₁

alakba írhatunk. Szimmetria okokból a másik két egyenes egyenlete

(x₁-x₃)x+(y₁-y₃)y=(x₃-x₁)x₂+(y₁-y₃)y₂,

illetve

(x₂-x₁)x+(y₂-y₁)y=(x₁-x₂)x₃+(y₂-y₁)y₃.

Ha az első két egyenletet összeadjuk, akkor a harmadik egyenlettel ekvivelens egyenlethez jutunk. Ez azt jelenti, hogy ha (x,y) megoldása az első két egyenletnek, akkor a harmadiknak is megoldása lesz. Minthogy pedig az első két egyenes nem párhuzamos egymással, van pontosan egy (x,y) közös pontjuk, ami ezek szerint a harmadik egyenesre is illeszkedik.

Jegyezzük meg, hogy a megoldás során csak annyit használtunk ki, hogy az A₁A₂A₃ és B₁B₂B₃ háromszögek egy egyenesre szimmetrikusan helyezkednek el.

Statisztika:

40 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Cseh Ágnes, Estélyi István, Fegyverneki Dániel, Fischer Richárd, Halász Veronika, Hujter Bálint, Kisfaludi-Bak Sándor, Kiss-Tóth Christian, Kunovszki Péter, Lorántfy Bettina, Mészáros Gábor, Nagy 224 Csaba, Nagy 235 János, Nagy 317 Péter, Pálovics Róbert, Poronyi Balázs, Sommer Dániel, Strenner Balázs, Szalkai Balázs, Szalóki Dávid, Szegvári Gábor, Szirmai Péter, Tomon István, Tossenberger Anna, Udvari Balázs, Ureczky Bálint.
4 pontot kapott:	Blázsik Zoltán, Bodzsár Erik, Bogár 560 Péter, Komáromy Dani, Kónya 495 Gábor, Kovács 129 Péter, Lukucz Balázs, Mátyás Péter, Páldy Sándor, Pesti Veronika, Petényi Franciska, Sümegi Károly, Szudi László.
3 pontot kapott:	1 versenyző.

A KöMaL 2005. áprilisi matematika feladatai