A B. 3825. feladat (2005. május)

B. 3825. Az n olyan pozitív egész, amelyre 2n+1 is és 3n+1 is négyzetszám. Bizonyítsuk be, hogy n osztható 40-nel.

(4 pont)

A beküldési határidő 2005. június 15-én LEJÁRT.

Megoldás. Ha egy szám 5-tel osztva 1 vagy -1 maradékot ad, akkor négyzete 5-tel osztva 1 maradékot ad, ha pedig a szám 2 maradékot ad 5-tel osztva, akkor a négyzete 4 maradékot ad. Páros szám négyzete 4-gyel osztható, tehát 0 vagy 4 maradékot ad 8-cal osztva, páratlan szám négyzete pedig (2k+1)²=4k(k+1)+1, ahol vagy k vagy pedig k+1 páros, tehát 8-cal osztva 1 maradékot ad. Ezek szerint egy négyzetszámot akár 5-tel, akár 8-cal osztva csakis 0, 1 vagy 4 maradékot kaphatunk.

Ha n nem osztható 5-tel, akkor vagy 2n+1, vagy pedig 3n+1 nem lesz négyzetszám. Ha ugyanis n 5-tel osztva 1 vagy 3 maradékot ad, akkor a 2n+1 szám 3 vagy 2 maradékot fog adni, ha pedig n 5-tel osztva 2 vagy 4 maradékot ad, akkor 3n+1 maradéka lesz 2 vagy 3.

Hasonlóképpen, ha n 8-cal osztva 1, 2, 3, 5, 6 vagy 7 maradékot ad, akkor 2n+1 maradéka 8-cal osztva 3, 5 vagy 7 lesz, tehát nem lehet négyzetszám, ha pedig n 4 maradékot ad 8-cal osztva, akkor 3n+1 nem lehet négyzetszám, mivel 5 maradékot ad 8-cal osztva.

Ezek szerint n osztható 5-tel és 8-cal is. Mivel pedig ezek relatív prímek, a szorzatukkal, 40-nel is osztható kell legyen. Létezik is ilyen n szám, például n=40 esetén 2n+1=9² és 3n+1=11².

Statisztika:

112 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	102 versenyző.
3 pontot kapott:	6 versenyző.
2 pontot kapott:	2 versenyző.
1 pontot kapott:	1 versenyző.
0 pontot kapott:	1 versenyző.

A KöMaL 2005. májusi matematika feladatai