A B. 3826. feladat (2005. május)

B. 3826. Milyen négyszög az alaplapja annak a csonkagúlának, amelynek bármelyik két testátlója metszi egymást?

(4 pont)

A beküldési határidő 2005. június 15-én LEJÁRT.

Megoldás. Legyen a gúla alaplapja az ABCD négyszög, fedőlapja pedig az A'B'C'D' négyszög, ahol az AA', BB', CC' és DD' egyenesek az O pontban metszik egymást. Legyen még az AC és BD átlók metszéspontja M, az A'C' és B'D' szakaszoké pedig M', ekkor M, M' és O egy egyenesre esnek, hiszen az A'B'C'D' négyszög az ABCD-ből O középpontú <1 arányú nagyítással kapható meg.

Az AC' és A'C testátlók metszéspontja legyen N. A BD' testátló egy pontban metszi az előbbi testátlókat tartalmazó ACO síkot. Ha tehát BD' metszi mind a két testátlót, akkor ugyanabban a pontban kell, hogy messe azokat, ami csakis az N pont lehet. Ugyanígy, a DB' testátló is át kell haladjon az N ponton. Az N pont tehát egyben a BD' és DB' testátlók metszéspontja is, vagyis a BDO síkra illeszkedik. Mivel az ACO és BDO síkok metszésvonala az OM egyenes, az N pont illeszkedik az OM egyenesre.

Vizsgáljuk most az ACC'A' trapézt. Az ANA' és CNC' háromszögek területe megegyezik, ami azt jelenti , hogy N felezi az N ponton AC-vel párhuzamosan húzott egyenesnek a trapézba eső szakaszát. Az O középpontú hasonlóság miatt tehát M felezi az AC szakaszt. Hasonlóképpen kapjuk azt is, hogy M felezi a BD szakaszt. Az ABCD négyszög átlói tehát felezik egymást, vagyis az alaplap szükségképpen paralelogramma.

Megfordítva, ha az alaplap paralelogramma, akkor az ANC és C'NA' háromszögek hasonlóságából, melynek aránya 1:, azt kapjuk, hogy az N pont az MM' szakasznak az a pontja, mely a szakaszt 1: arányban osztja. Ugyanez lesz érvényes a BD' és DB' testátlók N' metszéspontjára is, amiből következik, hogy N=N', a négy testátló tehát ugyanazon a ponton megy keresztül.

Statisztika:

40 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	Blázsik Zoltán, Csató László, Cseh Ágnes, Eisenberger András, Gombkötő Tamás, Harkai Alexandra Dóra, Hartmann Zoltán, Jusztin Áron, Kiss-Tóth Christian, Knipl Diána, Kómár Péter, Kovács 111 Péter, Nagy 224 Csaba, Nagy 317 Péter, Nagy-Baló András, Peregi Tamás, Pesti Veronika, Petrás András, Poronyi Balázs, Strenner Balázs, Szabó 108 Tamás.
3 pontot kapott:	Bogár 560 Péter, Dobos Gábor, Farkas Ádám László, Gehér György, Kátai-Pál Bence, Korándi Dániel, Kovács 129 Péter, Kozma Márton, Kunovszki Péter, Lovász László Miklós, Nagy 235 János, Sommer Dániel, Szilvási Tibor.
2 pontot kapott:	4 versenyző.
0 pontot kapott:	2 versenyző.

A KöMaL 2005. májusi matematika feladatai