Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A B. 3830. feladat (2005. május)

B. 3830. Tekintsük az ABC háromszög AB oldalára befelé rajzolt ABDE négyzet és a BC oldalára befelé rajzolt BCGH négyzet középpontját, továbbá az AC és a DH szakaszok felezőpontját. Milyen idomot határoz meg az így kapott négy pont?

(5 pont)

A beküldési határidő 2005. június 15-én LEJÁRT.

Megoldás. Legyen a két négyzet középpontja A* és C*, az AB,BC,CA szakaszok felezőpontja rendre C',A',B', a BH,BD,DH szakaszoké pedig rendre X,Y,Z. Ekkor felírhatjuk, hogy \ora{BB'}=\ora{BA'}+\ora{BC'}, \ora{BA^*}=\ora{BC'}+\ora{BY}, \ora{BC^*}=\ora{BX}+\ora{BA'} és \ora{BZ}=\ora{BX}+\ora{BY}. Ezért

\ora{C^*B'}=\ora{BB'}-\ora{BC^*}=\ora{BC'}-\ora{BX}=\ora{XC'}

és hasonlóképpen

\ora{B'A^*}=\ora{C^*Z}=\ora{BY}-\ora{BA'}=\ora{A'Y}.

Innen rögtön látszik, hogy a C*ZA*B' négyszög (esetleg elfajuló) paralelogramma. Mivel pedig a BA'Y háromszög a BXC' háromszögből 90o-os elforgatással keletkezik, a \ora{C^*Z} vektort is 90o-os elforgatással kapjuk meg a \ora{C^*B'} vektorból, ami azt jelenti, hogy a szóban forgó paralelogrammának két szomszédos oldala egyenlő hosszú és egymásra merőleges. A négy pont tehát egy négyzetet határoz meg.

Statisztika:

85 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:73 versenyző.
4 pontot kapott:6 versenyző.
3 pontot kapott:4 versenyző.
0 pontot kapott:2 versenyző.

A KöMaL 2005. májusi matematika feladatai