A B. 3834. feladat (2005. szeptember)

B. 3834. Mi az n egész szám legnagyobb értéke, ha négy megfelelő segédsúly és egy kétkarú mérleg segítségével minden olyan test tömege meghatározható, amelyről tudjuk, hogy kilogrammban vett mérőszáma 1-től az n-ig terjedő egész szám? (A kétkarú mérleggel tetszőlegesen sok mérést végezhetünk, de csak a segédsúlyokat és a mérendő tárgyat rakhatjuk serpenyőibe, és sem a segédsúlyokat, sem pedig a mérendő tárgyakat nem darabolhatjuk fel.)

A klasszikus feladatot módosította: Törcsvári Attila

(5 pont)

A beküldési határidő 2005. október 17-én LEJÁRT.

Megoldás. Legyen a segédsúlyok tömege rendre x₁,x₂,x₃,x₄. A mérleg csak olyan esetben lehet egyensúlyban, ha a ráhelyezett tárgy tömege ₁x₁+₂x₂+₃x₃+₄x₄ alakú, ahol _i{-1,0,1}. Ilyen módon 81 nem feltétlenül különböző számot képezhetünk, melyek között szerepel a 0, és minden számmal együtt annak ellentettje is, megegyező multiplicitással. Minden egyes mérendő tárgyat tehát legfeljebb 40 különböző tömeggel tudunk összehasonlítani, melyeket jelöljön (k40). Legyen továbbá a₀=0 és a_k+1=a_k+2. Ekkor az (a_i,a_i+1) nyílt intervallumok mindegyikébe legfeljebb egy mérendő tárgy tömege eshet, máskülönben lenne két tárgy, melyek tömege között méréseink alapján nem tudunk különbséget tenni. Ezért nk+(k+1)81.

Ebből a gondolatmenetből az is látszik, hogy n=81-gyel a feladat pontosan akkor oldható meg, ha az x_i számokat meg tudjuk úgy választani, hogy a belőlük képzett a_i sorozatra k=40 legyen, és a_i=2i teljesüljön minden 1i40 esetén. Most hívjuk segítségül a klasszikus feladat megoldását: ha t darab súlyunk van, melyekre x_i=3^i-1 (1it), akkor a belőlük képezhető számok közé esik valamennyi egész szám 1 és (3^t-1-1)/2 között, amint az t szerinti teljes indukcióval könnyen megmutatható. A tömegeket megduplázva tehát x₁=2, x₂=6, x₃=18, x₄=54 választás mellett az a_i sorozat éppen a számokból fog állni. Az n egész szám legnagyobb értéke tehát 81.

Statisztika:

249 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Beck Zoltán, Blázsik Zoltán, Bóra Eszter, Csaba Ákos, Cseh Ágnes, Csima Géza, Csóka Győző, Dudás László, Farkas Ádám László, Grósz Dániel, Herczegh Péter, Honner Balázs, Horváth 385 Vanda, Károlyi Gergely, Károlyi Márton, Kassay Gábor, Kiss 111 Viktor, Kiss 243 Réka, Korándi Dániel, Kovács 129 Péter, Kutas Péter, Lovász László Miklós, Magda Gábor, Milotai Zoltán, Muntag Lőrinc, Nagy 314 Dániel, Nigicser Bálint, Peregi Tamás, Radnai András, Szabó 108 Tamás, Szalkai Balázs, Szaller Dávid, Szalóki Dávid, Szebeni Szilveszter, Szegvári Gábor, Szendrei Balázs, Szilágyi 987 Csaba, Szőke Nóra, Szűcs Gergely, Tóth Réka Judit, Véges Márton, Werner Miklós.
4 pontot kapott:	19 versenyző.
3 pontot kapott:	57 versenyző.
2 pontot kapott:	35 versenyző.
1 pontot kapott:	58 versenyző.
0 pontot kapott:	37 versenyző.
Nem versenyszerű:	1 dolgozat.

A KöMaL 2005. szeptemberi matematika feladatai