 |
A B. 3836. feladat (2005. szeptember) |
B. 3836. Ábrázoljuk a síkon a p, q számpároknak azokat az értékeit, amelyekre az x2-2px+q=0 egyenletnek
a) kettő gyöke van;
b) gyöke a kettő;
c) a kettő az egyetlen gyöke.
Javasolta: Hraskó András
(4 pont)
A beküldési határidő 2005. október 17-én LEJÁRT.
Megoldás. Az egyenletnek pontosan akkor lesz két különböző valós megoldása, ha diszkriminánsa, D=(-2p)2-4q=4(p2-q) pozitív, vagyis ha q<p2. A megfelelő számpárokat tehát a q=p2 egyenletű parabola görbéje alatt elhelyezkedő pontokkal ábrázolhatjuk.
Az egyenletnek pontosan akkor lesz gyöke a kettő, ha x2-2px+q=(x-2)(x-a) teljesül valamely a valós számra. Ekkor 2p=a+2, q=2a, ahonnan q=4p-4, és minden p,q számpárhoz, amely ezt az összefüggést kielégíti, létezik megfelelő a szám. Ezeket a pontpárokat tehát a q=4p-4 egyenletű egyenes pontjaival ábrázolhatjuk, ennek az egyenesnek a meredeksége 4, a p tengelyt az (1,0), a q tengelyt pedig a (0,-4) pontban metszi.
Végül az egyenletnek pontosan akkor lesz kettő az egyetlen gyöke, ha x2-2px+q=(x-2)2, vagyis ha 2p=q=4. Most tehát csak egyetlen számpár jó, melyet a (2,4) ponttal szemléltethetünk, ez természetesen illeszkedik az előbb vázolt egyenesre.
Statisztika:
334 dolgozat érkezett. 4 pontot kapott: 216 versenyző. 3 pontot kapott: 67 versenyző. 2 pontot kapott: 31 versenyző. 1 pontot kapott: 15 versenyző. 0 pontot kapott: 5 versenyző.
A KöMaL 2005. szeptemberi matematika feladatai