Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A B. 3838. feladat (2005. szeptember)

B. 3838. Az A pozitív egész kettes számrendszerbeli alakja n darab 1-esből áll. Bizonyítsuk be, hogy nA kettes számrendszerbeli alakjában a számjegyek összege n.

Javasolta: Lorántfy László, Dabas

(4 pont)

A beküldési határidő 2005. október 17-én LEJÁRT.

Megoldás. A=2n-1, vagyis nA=n2n-n=(n-1)2n+(2n-n). Az (n-1)2n szám kettes számrendszerbeli alakját úgy kapjuk, hogy az n-1 számot kettes számrendszerben felírjuk, majd mögé írunk n darab 0 számjegyet. Mivel pedig 2n-n\ge2n-1, az nA szám kettes számrendszerbeli alakját úgy kapjuk, hogy a 2n-n szám kettes számrendszerbeli X alakja elé (ami egy n-jegyű szám) az n-1 szám kettes számrendszerbeli Y alakját írjuk (ami pedig egy legfeljebb n-1-jegyű szám). Ha Y elé még néhány 0 számjegyet írunk, ami a számjegyek összegén nem változtat, akkor Y-ra úgy gondolhatunk, mint egy n-jegyű számra, amely néhány 0 számjeggyel kezdődik. Mivel X+Y=2n-1=A a kettes számrendszerben n darab egyesből áll, amely helyiértéken X-ben 0 számjegy áll, ott Y-ban 1-es áll, ahol pedig X-ben 1-es számjegy szerepel, ott Y-ban 0 lesz. Az X és az Y számban tehát együttesen pontosan n darab 1-es számjegy szerepel, következésképpen az nA szám kettes számrendszerbeli alakjában is, vagyis ott a számjegyek összege valóban n.

Statisztika:

64 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:Árvay Anna, Blázsik Zoltán, Bogár 560 Péter, Bozi Áron, Csaba Ákos, Csató László, Cseh Ágnes, Csorba János, Dányi Zsolt, Dibuz Dániel, Dombi Soma, Farkas Márton, Heinczinger Ádám, Honner Balázs, Korándi Dániel, Kovács 129 Péter, Kovács Balázs, Lovász László Miklós, Mészáros Gábor, Milotai Zoltán, Nagy 235 János, Németh 007 Zsolt, Németh 546 Attila György, Radnai András, Sóti Gergely, Sümegi Károly, Szabó 108 Tamás, Szalkai Balázs, Szaller Dávid, Szalóki Dávid, Szilágyi 987 Csaba, Szudi László, Szűcs Gergely, Ta Phuong Linh, Tomon István, Tornyai Árpád, Tossenberger Anna, Török Péter, Udvari Balázs, Varga 171 László.
3 pontot kapott:Aczél Gergely, Baranyai J. Attila, Cséke Balázs, Csorba Sebestyén, Haszpra Zsolt, Magda Gábor, Pölöskei Péter.
1 pontot kapott:2 versenyző.
0 pontot kapott:15 versenyző.

A KöMaL 2005. szeptemberi matematika feladatai