A B. 3861. feladat (2005. november)

B. 3861. Igazoljuk, hogy az

x⁷-14x⁶+21x⁵-70x⁴+35x³-42x²+7x-2=0

egyenlet egyetlen valós gyöke $x=2+\root7\of{3} +\root7\of{9} +\dots +\root7\of{3^6}$ .

Kovács Béla, Szatmárnémeti

(5 pont)

A beküldési határidő 2005. december 15-én LEJÁRT.

Megoldás: Az egyenlet baloldalán az (x-1)⁷ kifejezés kifejtése szerepel azzal a különbséggel, hogy x páros kitevőjű hatványainak együtthatója helyett annak kétszerese áll. Ugyanezt az (x+1)⁷ kifejtéséből is megkaphatjuk, ha a páros kitevőjű tagok együtthatóját (-2)-vel szorozzuk. Innen látszik, hogy az egyenletet

${3(x-1)^7-(x+1)^7\over 2}=0$

alakra hozhatjuk, vagyis 3(x-1)⁷=(x+1)⁷. Mivel az f(x)=x⁷ függvény szigorúan monoton nő, ez ekvivalens a $\root7\of3 (x-1)=x+1$ egyenlettel, amelynek egyetlen megoldása

$x={\root7\of3 +1\over \root7\of3 -1}=1+{3-1\over \root7\of3 -1}= 2+\root7\of3+\root7\of9 +\dots +\root7\of{3^6}.$

Statisztika:

51 dolgozat érkezett.

5 pontot kapott: Blázsik Zoltán, Bogár 560 Péter, Csaba Ákos, Csató László, Cseh Ágnes, Honner Balázs, Horváth 385 Vanda, Kardos Kinga Gabriela, Komáromy Dani, Korándi Dániel, Kovács 111 Péter, Kovács 129 Péter, Kunovszki Péter, Mészáros Gábor, Nagy 235 János, Németh 007 Zsolt, Peregi Tamás, Pesti Veronika, Szakács Nóra, Szalóki Dávid, Szentandrási István, Szilágyi 987 Csaba, Szűcs Gergely, Ta Phuong Linh, Tomon István, Tossenberger Anna, Varga 171 László, Werner Miklós.

4 pontot kapott: Almási 270 Gábor András, Balogh Ádám, Berna Zoltán, Csorba János, Dányi Zsolt, Farkas Márton, Heinczinger Ádám, Károlyi Márton, Mercz Béla, Miklós Rozália, Páldy Sándor, Priksz Ildikó, Sárkány Lőrinc, Udvari Balázs.

3 pontot kapott: 4 versenyző.

1 pontot kapott: 1 versenyző.

0 pontot kapott: 4 versenyző.

A KöMaL 2005. novemberi matematika feladatai

51 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Blázsik Zoltán, Bogár 560 Péter, Csaba Ákos, Csató László, Cseh Ágnes, Honner Balázs, Horváth 385 Vanda, Kardos Kinga Gabriela, Komáromy Dani, Korándi Dániel, Kovács 111 Péter, Kovács 129 Péter, Kunovszki Péter, Mészáros Gábor, Nagy 235 János, Németh 007 Zsolt, Peregi Tamás, Pesti Veronika, Szakács Nóra, Szalóki Dávid, Szentandrási István, Szilágyi 987 Csaba, Szűcs Gergely, Ta Phuong Linh, Tomon István, Tossenberger Anna, Varga 171 László, Werner Miklós.
4 pontot kapott:	Almási 270 Gábor András, Balogh Ádám, Berna Zoltán, Csorba János, Dányi Zsolt, Farkas Márton, Heinczinger Ádám, Károlyi Márton, Mercz Béla, Miklós Rozália, Páldy Sándor, Priksz Ildikó, Sárkány Lőrinc, Udvari Balázs.
3 pontot kapott:	4 versenyző.
1 pontot kapott:	1 versenyző.
0 pontot kapott:	4 versenyző.

Már regisztráltál?
Új vendég vagy?