A B. 3865. feladat (2005. december)

B. 3865. Az AB₁C₁ és AB₂C₂ háromszögek hasonlók és a körüljárási irányuk is megegyezik. A B₁B₂ és C₁C₂ egyenesek az A-tól különböző D pontban metszik egymást.

(a) Mutassuk meg, hogy az AB₁B₂ és AC₁C₂ háromszögek hasonlók.

(b) Igazoljuk, hogy az AB₁C₁ és AB₂C₂ háromszög körülírt köre átmegy a D ponton.

(4 pont)

A beküldési határidő 2006. január 16-án LEJÁRT.

Megoldás: Mivel A $\ne$ D, a B₁,A,B₂ pontok nem esnek egy egyenesre, csakúgy, mint a C₁,A,C₂ pontok. A szóban forgó háromszögek tehát léteznek. Vegyük az eredeti háromszögek körüljárási irányát pozitívnak. Szükség esetén az indexeket felcserélve, feltehetjük, hogy az AB₁C₁ háromszöget A körüli $\varphi$ szögű forgatva nyújtás viszi az AB₂C₂ háromszögbe, ahol 0< $\varphi$ < $\pi$ . Legyen a B₁AC₁ és B₂AC₂ irányított szögek nagysága $\alpha$ , továbbá a hasonlóság miatt

C₁A/B₁A=C₂A/B₂A= $\lambda$ .

Ekkor az AB₁B₂ háromszöget A körüli $\alpha$ szöggel történő, $\lambda$ arányú forgatva nyújtás viszi az AC₁C₂ háromszögbe, ami az első állí tást igazolja. Ugyanez a forgatva nyújtás az ábrán feltüntetett b=B₁B₂ irányított egyenest a c=C₁C₂ irányított egyenesbe viszi. Ezeket a D pont két részre osztja, melyeket nevezzünk értelemszerűen bal-, illetve jobboldali résznek.

A második állítás igazolásához vegyük figyelembe, hogy az AB₁B₂ és AC₁C₂ háromszögek körüljárási iránya is pozitív. Szimmetria okok miatt elegendő azt bizonyítani, hogy az A,B₁,C₁ és D pontok egy körön vannak. Ez nyilvánvaló, ha B₁ vagy C₁ egybeesik D-vel. Az nem lehet, hogy B₁ a b egyenes jobboldali részén és ugyanakkor C₁ pedig a c egyenes baloldali részén helyezkedik el, ekkor ugyanis az AB₁C₁ háromszög negatív körüljárású lenne. Ennek alapján 3 esetet különböztethetünk meg. Az ábrán látható első esetben mindkét pont a megfelelő egyenes baloldali részén helyezkedik el. Ekkor az A és D pontok a B₁C₁ egyenesnek ugyanazon oldalára esnek, és a B₁C₁ szakasz mindkettőből $\alpha$ szög alatt látszik, vagyis az állítás következik a kerületi szögek tételének megfordí tásából. Hasonló a helyzet abban az esetben is, ha mindkét pont a megfelelő irányított egyenes jobboldalán van. Végül ha B₁ a b baloldalán, C₁ pedig c jobboldali részén van, akkor a B₁C₁ egyenes elválasztja az A és D pontokat. Ekkor azonban a B₁C₁ szakasz D-ből $\pi$ - $\alpha$ szög alatt látszik, vagyis az AB₁DC₁ négyszög húrnégyszög.

Statisztika:

168 dolgozat érkezett.

4 pontot kapott: Anda Roland, Balambér Dávid, Bogár 560 Péter, Bus Norbert, Csaba Ákos, Csima Géza, Csorba János, Gaál Zsuzsanna, Gaizer Tünde, Gresits Iván, Gyüre Balázs, Klimaj Zoltán, Kovács 129 Péter, Kristóf Panna, Kunovszki Péter, Lovász László Miklós, Mercz Béla, Nagy-Baló András, Németh Kitti Noémi, Pálovics Róbert, Peregi Tamás, Prőhle Zsófia, Salát Zsófia, Ta Phuong Linh, Tossenberger Anna, Udvari Balázs, Vajsz Tibor, Véges Márton.

3 pontot kapott: 81 versenyző.

2 pontot kapott: 28 versenyző.

1 pontot kapott: 23 versenyző.

0 pontot kapott: 8 versenyző.

A KöMaL 2005. decemberi matematika feladatai

168 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	Anda Roland, Balambér Dávid, Bogár 560 Péter, Bus Norbert, Csaba Ákos, Csima Géza, Csorba János, Gaál Zsuzsanna, Gaizer Tünde, Gresits Iván, Gyüre Balázs, Klimaj Zoltán, Kovács 129 Péter, Kristóf Panna, Kunovszki Péter, Lovász László Miklós, Mercz Béla, Nagy-Baló András, Németh Kitti Noémi, Pálovics Róbert, Peregi Tamás, Prőhle Zsófia, Salát Zsófia, Ta Phuong Linh, Tossenberger Anna, Udvari Balázs, Vajsz Tibor, Véges Márton.
3 pontot kapott:	81 versenyző.
2 pontot kapott:	28 versenyző.
1 pontot kapott:	23 versenyző.
0 pontot kapott:	8 versenyző.

Már regisztráltál?
Új vendég vagy?