 |
A B. 3866. feladat (2005. december) |
B. 3866. Egy kör AB ívének melyik P pontjára maximális az ABP háromszög kerülete?
(4 pont)
A beküldési határidő 2006. január 16-án LEJÁRT.
Megoldás: Az APB szög az AB ív minden pontjára ugyankkora, jelöljük 
-val. Mérjük fel a BP szakasz P-n túli meghosszabbí tására P-ből az AP szakaszt, így kapjuk a P' pontot. Az APP' egyenlő szárú háromszögben tehát az AP'P szög (mely egyenlő az AP'B szöggel) éppen /2<90o. Ha tehát P befutja az AB ívet, akkor P' egy, az AB szakasz fölé rajzolt /2 szöghöz tartozó látóköríven halad végig. Mivel az ABP háromszög kerülete AB+BP', ez akkor lesz maximális, ha BP' a lehető legnagyobb, vagyis ha éppen az előbb említett látókörív egy átmérője. Ez akkor következik be, ha a BAP' szög derékszög, vagyis ha a P pont éppen a BP' szakasz felezőpontja, amikor is BP=PP'=AP. P-t tehát az adott AB ív felezőpontjának kell választanunk.
Statisztika:
164 dolgozat érkezett. 4 pontot kapott: 109 versenyző. 3 pontot kapott: 21 versenyző. 2 pontot kapott: 10 versenyző. 1 pontot kapott: 3 versenyző. 0 pontot kapott: 21 versenyző.
A KöMaL 2005. decemberi matematika feladatai