A B. 3867. feladat (2005. december)

B. 3867. Legyen az n olyan pozitív egész szám, amelyre 4ⁿ+2ⁿ+1 prímszám. Bizonyítsuk be, hogy n a 3-nak egész kitevőjű hatványa.

(5 pont)

A beküldési határidő 2006. január 16-án LEJÁRT.

Megoldás: Tegyük fel, hogy n=3^km, ahol m 1-nél nagyobb, 3-mal nem osztható egész szám. Ekkor

$A=4^n+2^n+1={2^{3n}-1\over 2^n-1}={2^{3^{k+1}m}-1\over 2^n-1} ={CB\over 2^n-1},$

ahol C=2^{3^k+1}-1, a B egész számra pedig

B>2^{3^k+1(m-1)}>2^{3^km}>2ⁿ-1.

Meg fogjuk mutatni, hogy a C és 2ⁿ-1 számok legnagyobb közös osztója,

D=(C,2ⁿ-1)=(2^{3^k+1}-1,2ⁿ-1)=2^{3^k}-1.

Ekkor az E=(2ⁿ-1)/D jelöléssel A=(C/D)(B/E), ahol mindkét tényező 1-nél nagyobb egész szám, amiértis A nem lehet prímszám.

Most már csak a D-re vonatkozó állításunkat kell igazolni. Vegyük észre, hogy ha a,b pozitív egészek, akkor 2^a-1 pontosan akkor osztója (2^b-1)-nek, ha a osztója b-nek. Valóban, ha b=qa+r, ahol 0 $\le$ r<a, akkor

2^b-1=2^r((2^a)^q-1)+(2^r-1)

pontosan akkor osztható (2^a-1)-gyel, ha r=0. Ebből az észrevételből könnyen levezethető, hogy

(2^K-1,2^L-1)=2^(K,L)-1

teljesül minden K,L pozitív egészre; D-re vonatkozó állításunk pedig ennek speciális esete.

Statisztika:

51 dolgozat érkezett.

5 pontot kapott: Balogh 147 Ádám, Bogár 560 Péter, Csató László, Dányi Zsolt, Gaizer Tünde, Honner Balázs, Károlyi Márton, Kornis Kristóf, Kovács 111 Péter, Kutas Péter, Lovász László Miklós, Mészáros Gábor, Milotai Zoltán, Németh 007 Zsolt, Pesti Veronika, Szabó 108 Tamás, Szakács Nóra, Szalóki Dávid, Szilágyi 987 Csaba, Szűcs Gergely, Tomon István, Varga 171 László, Véges Márton, Wolosz János.

4 pontot kapott: Blázsik Zoltán, Cseh Ágnes, Sümegi Károly, Szirmai Péter, Tossenberger Anna, Zieger Milán.

3 pontot kapott: 2 versenyző.

1 pontot kapott: 6 versenyző.

0 pontot kapott: 11 versenyző.

Nem versenyszerű: 2 dolgozat.

A KöMaL 2005. decemberi matematika feladatai

51 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Balogh 147 Ádám, Bogár 560 Péter, Csató László, Dányi Zsolt, Gaizer Tünde, Honner Balázs, Károlyi Márton, Kornis Kristóf, Kovács 111 Péter, Kutas Péter, Lovász László Miklós, Mészáros Gábor, Milotai Zoltán, Németh 007 Zsolt, Pesti Veronika, Szabó 108 Tamás, Szakács Nóra, Szalóki Dávid, Szilágyi 987 Csaba, Szűcs Gergely, Tomon István, Varga 171 László, Véges Márton, Wolosz János.
4 pontot kapott:	Blázsik Zoltán, Cseh Ágnes, Sümegi Károly, Szirmai Péter, Tossenberger Anna, Zieger Milán.
3 pontot kapott:	2 versenyző.
1 pontot kapott:	6 versenyző.
0 pontot kapott:	11 versenyző.
Nem versenyszerű:	2 dolgozat.

Már regisztráltál?
Új vendég vagy?