A B. 3869. feladat (2005. december)

B. 3869. Az ABC hegyesszögű háromszög belsejében, az A csúcsból induló szögfelezőn felvettük az M pontot. Az AM, BM, CM egyeneseknek a körülírt körrel való második metszéspontja rendre A₁, B₁ és C₁. Az AB és a C₁A₁ egyenesek az L pontban, az AC és a B₁A₁ egyenesek az N pontban metszik egymást. Bizonyítsuk be, hogy az LN szakasz párhuzamos BC-vel.

Javasolta: Bodnár János, Budapest

(5 pont)

A beküldési határidő 2006. január 16-án LEJÁRT.

Megoldás: Mivel AA₁ felezi a BAC szöget, a BA₁ és CA₁ ívek egyenlők. A kerületi szögek tétele alapján tehát a mellékelt ábrán számos egymással egyenlő szöget fedezhetünk fel. Így például

$CB_1N\sph=CAM\sph=A_1C_1M\sph,\quad B_1CN\sph=B_1A_1M\sph=MBA\sph$

és

$ACM\sph=C_1A_1M\sph=C_1BA\sph.$

Ezért az NCB₁ háromszög hasonló az MA₁B₁ háromszöghöz, amiért is NC/MA₁=B₁C/B₁A₁, továbbá AC/AM=C₁A₁/C₁M is leolvasható az ACM és C₁A₁M háromszögek hasonlóságából. A két egyenlőséget összevetve kapjuk, hogy

${NC\over MA_1}:{AC\over AM}={B_1C\over A_1B_1}:{A_1C_1\over MC_1}.$

Ugyanígy kapjuk szimmetria okok miatt az

${LB\over MA_1}:{AB\over AM}={C_1B\over A_1C_1}:{A_1B_1\over MB_1}$

egyenlőséget. A két egyenlőséget egymással elosztva kapjuk, hogy

${NC\over AC}:{LB\over AB}={B_1C\over MB_1}:{C_1B\over MC_1}.$

Mármost $CB_1M\sph=BC_1M\sph$ és

$C_1BM\sph=C_1BA\sph+MBA\sph=ACM\sph+B_1CN\sph=B_1CM\sph$

miatt a C₁BM és B₁CM háromszögek is hasonlók, vagyis a jobboldalon álló arány 1-gyel egyenlő. Ezért NC/AC=LB/AB, és a párhuzamos szelők tételének megfordítása adja a bizonyítandó állítást.

Statisztika:

59 dolgozat érkezett.

5 pontot kapott: 55 versenyző.

4 pontot kapott: 1 versenyző.

2 pontot kapott: 1 versenyző.

0 pontot kapott: 2 versenyző.

A KöMaL 2005. decemberi matematika feladatai

59 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	55 versenyző.
4 pontot kapott:	1 versenyző.
2 pontot kapott:	1 versenyző.
0 pontot kapott:	2 versenyző.

Már regisztráltál?
Új vendég vagy?