A B. 3871. feladat (2005. december)

B. 3871. Oldjuk meg az x²-x-1=2^x-log₂(x²+2^x) egyenletet a pozitív számok körében.

(5 pont)

A beküldési határidő 2006. január 16-án LEJÁRT.

Megoldás: Írjuk át az egyenletet

(x²+2^x)+log₂(x²+2^x)=2^x+1+(x+1)

alakra, ekkor az A=x²+2^x és B=2^x+1 jelöléssel A+log₂A=B+log₂B, ahol A,B pozitív számok. Mivel a pozitív számok halmazán az x+log₂x függvény szigorúan monoton növekedő, A=B kell, hogy teljesüljön. Ezért x²=2^x, ahonnan x>0 miatt x=2log₂x. Mivel az f(x)=2log₂x függvény grafikonja a pozitív félegyenesen alulról szigorúan konkáv, azt az y=x egyenes legfeljebb 2 pontban metszheti, ami be is következik x=2, illetve x=4 esetén. Ezek az x értékek pedig az eredeti egyenletnek is megoldásai.

Statisztika:

68 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Dányi Zsolt, Honner Balázs, Kardos Kinga Gabriela, Károlyi Márton, Komáromy Dani, Kovács 111 Péter, Kovács 129 Péter, Mészáros Gábor, Németh 546 Attila György, Páldy Sándor, Sümegi Károly, Szakács Nóra, Szalkai Balázs, Szalóki Dávid, Szilágyi 987 Csaba, Szolnoki Lénárd, Szűcs Gergely, Tomon István, Udvari Balázs, Werner Miklós.
4 pontot kapott:	Cserép Gergely, Csorba János, Károlyi Gergely, Mercz Béla, Nagy 235 János, Peregi Tamás, Sárkány Lőrinc, Szudi László, Véges Márton.
3 pontot kapott:	17 versenyző.
2 pontot kapott:	3 versenyző.
1 pontot kapott:	8 versenyző.
0 pontot kapott:	9 versenyző.
Nem versenyszerű:	2 dolgozat.

A KöMaL 2005. decemberi matematika feladatai