Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A B. 3877. feladat (2006. január)

B. 3877. Az ABC háromszög súlypontja S, az AB oldal felezőpontja F. Az AF szakasz P belső pontjára tekintsük a PS egyenesnek azt a Q pontját, amelyre QC és AB párhuzamosak. A QA és a BC egyenesek metszéspontja legyen R.

Bizonyítsuk be, hogy a PR szakasz felezi az ABC háromszög területét.

(4 pont)

A beküldési határidő 2006. február 15-én LEJÁRT.

Megoldás: Az ABR és QCR háromszögek hasonlóságából

{QC\over AB} = {CR\over BR}.

Mindkét oldalhoz 1-et hozzádva

{QC+AB\over AB}={CR+BR\over BR}={BC\over BR}

adódik. Mivel pedig CS=2FS, a QCS és PFS háromszögek hasonlósága alapján QC=2PF, vagyis QC+AB=2PF+2BF=2BP. Ezért

BR\cdot BP={AB\cdot BC\over QC+AB}\cdot BP={AB\cdot BC\over 2}.

Mindkét oldalt az ABC szög szinuszának felével beszorozva a feladatban szereplő állítást kapjuk.

Statisztika:

91 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:77 versenyző.
3 pontot kapott:7 versenyző.
2 pontot kapott:4 versenyző.
1 pontot kapott:1 versenyző.
0 pontot kapott:2 versenyző.

A KöMaL 2006. januári matematika feladatai