A B. 3880. feladat (2006. január)

B. 3880. Bizonyítsuk be, hogy minden n pozitív egész számhoz található olyan n²-nél nem nagyobb, n-nel osztható pozitív egész szám, amelynek 10-es számrendszerbeli alakjában nem szerepel mind a tíz számjegy.

(5 pont)

A beküldési határidő 2006. február 15-én LEJÁRT.

Megoldás: Ha n<10⁹, akkor n legfeljebb 9-jegyű, vagyis maga az n szám kielégíti a feltételeket. Feltehetjük tehát, hogy 10^kn<10^k+1 teljesül alkalmas k9 egész számmal, ekkor n²10^2k. Tekintsük az összes 2k-jegyű számot, melyekben csak az 1,2,3,4 számjegyek szerepelnek. Ezek mindegyike kisebb, mint n², számuk pedig 4^k, ami nagyobb, mint n. Valóban, (8/5)³=512/125>4, ezért (8/5)^k(8/5)⁹>4³>10, tehát 10^.5^k<8^k, vagyis n<10^k+1<16^k=4^2k. A skatulya-elv miatt van a számok között kettő, amely n-nel osztva ugyanannyi maradékot ad. E két szám különbsége tehát kisebb, mint n², osztható n-nel, és nem szerepelhet benne sem a 4-es, sem az 5-ös számjegy.

Statisztika:

6 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Dombi Soma, Károlyi Gergely, Sümegi Károly, Szűcs Gergely, Tomon István.
4 pontot kapott:	Nagy 235 János.

A KöMaL 2006. januári matematika feladatai