A B. 3889. feladat (2006. február)

B. 3889. Egy bűvésztől láttam a következő mutatványt. Egy néző véletlenszerűen kiválasztott 5 lapot az 52 lapos francia kártyából, és átadta őket a bűvész segédjének. (A segéd a bűvész állandó partnere volt, így korábban már megállapodhattak.) A segéd megnézte az 5 lapot, és a bűvésznek egyesével átadott közülük 4-et. Ezután a bűvész -- anélkül, hogy bármi egyéb információt kapott volna -- megnevezte az ötödik lapot.

A mutatvány végeztével a bűvész az alábbi módon próbálta meggyőzni a matematika iránt érdeklődő nézőket:

,,A segítőm négy kártyát mutatott nekem, és ez a négy kártya tetszőlegesen kerülhet ki a pakliból. Információt tehát kizárólag a kártyák bemutatásának a sorrendjén keresztül közölhetett velem. Mint ismeretes, 4 kártyát 4!=24-féleképpen lehet sorbarendezni, az ötödik lap azonban 52-4=48-féle lehetett. Éppen 1 bit információ hiányzik tehát, ennek a pótlásához kell a csoda.''

Igaz-e, hogy a mutatványhoz valóban természetfölötti képességekre van szükség?

Javasolta: Gáspár Merse Előd, fizikus

(5 pont)

A beküldési határidő 2006. március 16-án LEJÁRT.

Megoldás: A bűvész érvelése helytelen, hiszen annak is információértéke lehet, hogy a segítő az 5 kiválasztott lap közül melyik négyet mutatja meg a bűvésznek, ez tehát elvileg még 5-tel megszorozhatja a lehetőségek számat (többel azonban semmiképp: 5^.24+4=124 lapnál többet tartalmazó kártyacsomag esetén tehát valóban szükség lenne természetfölötti képességekre). A mutatvány pedig valóban elvégezhető az alábbi egyszerű megállapodás segítségével.

Az 5 kiválasztott lap között biztosan van kettő azonos színű, sA és sB, ahol s a színt jelenti, A,B pedig a számot, ahol az ászt 1-gyel, a bubit 11-gyel, a dámát 12-vel, a királyt pedig 13-mal azonosítjuk. Ciklikusan, vagyis modulo 13 számolva, A és B különbsége legfeljebb 6, ilyen értelemben legyen A a kisebb, B pedig a nagyobb. (Ha tehát a két lap 4-es és 7-es, akkor A=4,B=7, ha viszont a két lap 3-as és király, akkor A=13,B=3). Ha a segéd megegyezés szerint az sB lapot nem adja át a bűvésznek, az sA pedig az a lap a 4 közül, amit először megmutat, akkor a bűvész rögtön tudja sB színét, sőt azt is tudja, hogy az ezen színnel rendelkező 12 kártyalap közül az sA-t (ciklikus sorrendben) követő 6 lap valamelyikéről van szó. Hogy e 6 lap közül melyikről, azt a segítő a megmaradt 3 lap 6 lehetséges sorrendje közül a megfelelő kiválasztásával tudja a bűvész tudomására hozni, például úgy, hogy megállapítanak a kártyák között egy erősorrendet, és attól függően, hogy a segéd milyen erősorrendben mutatja be a megmaradt 3 lapot, a bűvész az 1,2,3,4,5 vagy 6 számot adja hozzá (modulo 13 számolva) A-hoz, hogy megkapja B-t. A megállapodás további részleteinek megvalósítását ezek után már nyugodtan rábízhatjuk a bűvészkedés iránt is érdeklődő olvasóra.

Statisztika:

70 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Almási 270 Gábor András, Csaba Ákos, Csató László, Csige Péter, Csima Géza, Dudás László, Károlyi Gergely, Károlyi Márton, Kiss 243 Réka, Kovács 129 Péter, Kozma Márton, Kurgyis Eszter, Lovász László Miklós, Mercz Béla, Pap Máté, Pesti Veronika, Sümegi Károly, Szalóki Dávid, Szőke Nóra, Tomon István, Udvari Balázs, Varga 111 Péter, Varga 171 László.
4 pontot kapott:	Beck Zoltán, Cseh Ágnes, Cséke Balázs, Dombi Soma, Honner Balázs, Kovács 111 Péter, Kutas Péter, Németh 546 Attila György, Páldy Sándor, Pásztor Attila, Pirkó Dániel, Szabó Levente, Szebeni Szilveszter, Szilágyi 987 Csaba.
3 pontot kapott:	7 versenyző.
2 pontot kapott:	4 versenyző.
1 pontot kapott:	6 versenyző.
0 pontot kapott:	16 versenyző.

A KöMaL 2006. februári matematika feladatai