Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A B. 3905. feladat (2006. április)

B. 3905. Hány megoldása van az y2=x2-x+1 egyenletnek a) az egész számok; b) a racionális számok körében?

(5 pont)

A beküldési határidő 2006. május 18-án LEJÁRT.

Megoldás: Ha x egynél nagyobb egész szám, akkor (x-1)2<x2-x+1<x2, ha pedig x negatív egész, akkor x2<x2-x+1<(x-1)2, amiértis y nem lehet egész szám. Az x=0 és az x=1 esetben pedig két-két megoldás van: y=1 és y=-1. Az egész számok körében tehát az egyenletnek pontosan 4 megoldása van.

Megmutatjuk, hogy végtelen sok olyan pozitív egészekből álló (c,d) számpár van, amelyre c és d relatív prímek és c2-cd+d2 négyzetszám, mondjuk e2. Ilyen esetben x=c/d és y=e/d kielégítik az egyenletet, és végtelen sok különböző megoldást kapunk ilyen módon a raconális számok körében. A c2-cd+d2=e2 egyenlet ekvivalens a (2c-d)2+3d2=(2e)2 egyenlettel, amelyet átrendezés után

3d2=(2e-2c+d)(2e+2c-d)

alakra hozhatunk. A c,e számokat alkalmasan választva elérhetjük, hogy a jobboldalon álló szorzat első tényezője 3, a második pedig d2 legyen. Ehhez az

e={d^2+3\over 4},\quad c={d^2+2d-3\over 4}

választásra van szükség, ahol d páratlan egész szám. Könnyen belátató, hogy ha d 1-nél nagyobb, 3-mal nem osztható páratlan szám, akkor c és e olyan pozitív egészek lesznek, melyekre teljesül a fenti egyenlőség, és c relatív prím d-hez. A racionális számok körében tehát végtelen sok megoldás van.

Statisztika:

72 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:Blázsik Zoltán, Csató László, Cseh Ágnes, Cserép Gergely, Csizmadija Laura, Dombi Soma, Farkas Ádám László, Farkas Márton, Fegyverneki Tamás, Győrffy Lajos, Honner Balázs, Kardos Kinga Gabriela, Károlyi Márton, Kornis Kristóf, Kovács 111 Péter, Kovács 129 Péter, Kovács 333 Veronika, Kunovszki Péter, Kutas Péter, Mészáros Gábor, Móri Bálint, Nagy 235 János, Orosz Katalin, Páldy Sándor, Pásztor Attila, Peregi Tamás, Priksz Ildikó, Salát Zsófia, Sárkány Lőrinc, Sümegi Károly, Szabó 108 Tamás, Szakács Nóra, Szalkai Balázs, Szalóki Dávid, Szilágyi 987 Csaba, Szirmai Péter, Szőke Nóra, Szudi László, Szűcs Gergely, Tomon István, Varga 111 Péter, Varga 171 László, Véges Márton.
4 pontot kapott:Cserép Máté, Heinczinger Ádám, Kátai-Pál Bence, Pirkó Dániel, Tossenberger Anna, Zieger Milán.
3 pontot kapott:3 versenyző.
2 pontot kapott:15 versenyző.
1 pontot kapott:5 versenyző.

A KöMaL 2006. áprilisi matematika feladatai