A B. 3906. feladat (2006. április)

B. 3906. Az e és f kitérő egyenesek merőlegesek egymásra. Az egységnyi hosszúságú AB szakasz úgy mozog, hogy A mindig e-n, B pedig mindig f-en van. Határozzuk meg AB felezőpontjának mértani helyét.

(4 pont)

A beküldési határidő 2006. május 18-án LEJÁRT.

Megoldás: Ha az egyenesek távolsága 1-nél nagyobb, a mértani hely üres. Amennyiben pontosan 1, úgy a mértani hely egyetlen pontból áll, amely a két egyenes normáltranszverzálisának O felezőpontja. Ha pedig az egyenesek D=2d távolságára 0<2d<1 teljesül, akkor vegyünk fel úgy egy derékszögű koordinátarendszert, hogy az e egyenes pontjait az x=0, z=d, az f egyenes pontjait pedig az y=0, z=-d egyenletrendszer megoldásai adják. Az AB szakasz felezőpontja az x,y-síkban helyezkedik el. Az A(0;y;d) és B(x;0;-d) pontok távolsága pontosan akkor 1, ha a térbeli Pithagorasz-tételnek megfelelően x²+y²+(2d)²=1, vagyis ha x²+y²=1-4d². A szakasz felezőpontja ekkor az F(x/2;y/2;0) pont. A P(u;v;0) pont tehát pontosan akkor tartozik a mértani helyhez, ha koordinátáira u²+v²=1/4-d² teljesül. A mértani hely ebben az esetben tehát egy O középpontú, sugarú kör, amely az egyenesekkel párhuzamos, O-ra illeszkedő síkban helyezkedik el.

Statisztika:

68 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	Balambér Dávid, Bartha Zsolt, Blázsik Zoltán, Bogár 560 Péter, Csaba Ákos, Cseh Ágnes, Csima Géza, Csizmadija Laura, Csorba János, Dányi Zsolt, Dombi Soma, Honner Balázs, Hotzi Bernadette, Károlyi Gergely, Károlyi Márton, Kovács 111 Péter, Kovács 129 Péter, Kunovszki Péter, Mészáros Gábor, Peregi Tamás, Pesti Veronika, Salát Zsófia, Sommer Dániel, Sümegi Károly, Szabó 108 Tamás, Szalóki Dávid, Szirmai Péter, Szívós Eszter, Szűcs Gergely, Tomon István, Tossenberger Anna, Tóth 796 Balázs, Tóthmérész Lilla, Udvari Balázs, Varga 171 László, Varga 868 András, Véges Márton, Werner Miklós.
3 pontot kapott:	23 versenyző.
2 pontot kapott:	5 versenyző.
1 pontot kapott:	2 versenyző.

A KöMaL 2006. áprilisi matematika feladatai