Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A B. 3908. feladat (2006. április)

B. 3908. Bizonyítsuk be, hogy 23n+1 minden n természetes számra osztható 3n+1-nel.

(3 pont)

A beküldési határidő 2006. május 18-án LEJÁRT.

Megoldás: Az állítás n=0 esetén igaz, hiszen 2+1 osztható 3-mal. Tegyük fel, hogy az állítást valamely n természetes számra már igazoltuk, mely szerint 23n=3n+1t-1 írható egy alkalmas t egész számmal. Ekkor

2^{3^{n+1}}+1=\bigl(2^{3^n}\bigr)^3+1= 3^{3n+3}t^3-3\cdot 3^{2n+2}t^2+3\cdot 3^{n+1}t

osztható 3n+2-nel, alkalmazhatjuk tehát a teljes indukció elvét.

Statisztika:

84 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:73 versenyző.
2 pontot kapott:5 versenyző.
1 pontot kapott:1 versenyző.
0 pontot kapott:5 versenyző.

A KöMaL 2006. áprilisi matematika feladatai