 |
A B. 3911. feladat (2006. április) |
B. 3911. Bizonyítsuk be, hogy tetszőleges hegyesszögű háromszögbe mindig írható olyan ellipszis, aminek egyik fókusza a háromszög magasságpontja, másik fókusza a körülírt körének középpontja.
(5 pont)
A beküldési határidő 2006. május 18-án LEJÁRT.
Megoldás: Ismeretes, hogy ha egy ellipszis valamelyik fókuszából merőlegest állítunk annak egy érintőjére, akkor a merőleges talppontja az ellipszis főkörére esik. Ez a tulajdonság egyben definiálja is az ellipszis érintőit. Tekintsük ugyanis az ellipszis egy F fókuszát, valamint egy F-re illeszkedő e egyenest. Az ellipszisnek pontosan két olyan érintője van, amely e-re merőleges, ezek e-t pontosan abban a két pontban metszik, amelyben e a főkört metszi, a többi e-re merőleges egyenes pedig ezt a két pontot elkerüli.
Ezek alapján a feladat már könnyen megoldható. Mivel a háromszög M magasságpontja és körülírt körének O középpontja nem esnek egybe, valamint a k Feuerbach-kör középpontja éppen az OM szakasz felezőpontja, létezik pontosan egy olyan ellipszis, amelynek főköre k, fókuszpontjai pedig O és M, hiszen egy ellipszist annak nagytengelye, valamint azon szimmetrikusan elhelyezkedő fókuszpontjai egyértelműen meghatároznak. Ha O-ból, illetve M-ből a háromszög oldalegyeneseire merőlegeseket állítunk, ezek talppontjai k-ra esnek, vagyis a háromszög oldalegyenesei az ellipszis érintői lesznek. Mivel a háromszög hegyesszögű, a fókuszpontok a háromszög belsejébe esnek, vagyis a háromszög oldalai közrefogják az ellipszist.
Statisztika:
45 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: Blázsik Zoltán, Bogár 560 Péter, Csaba Ákos, Cseh Ágnes, Grósz Dániel, Honner Balázs, Horváth 385 Vanda, Károlyi Márton, Kovács 129 Péter, Kunovszki Péter, Kutas Péter, Nagy 314 Dániel, Pálovics Róbert, Peregi Tamás, Sümegi Károly, Szabó 108 Tamás, Szakács Nóra, Szalóki Dávid, Szilágyi 987 Csaba, Szőke Nóra, Szűcs Gergely, Tomon István, Tossenberger Anna, Tóth 796 Balázs, Tóthmérész Lilla, Udvari Balázs. 4 pontot kapott: Károlyi Gergely, Kornis Kristóf, Nagy-Baló András, Paksy Patrik, Sommer Dániel. 3 pontot kapott: 11 versenyző. 2 pontot kapott: 2 versenyző. 0 pontot kapott: 1 versenyző.
A KöMaL 2006. áprilisi matematika feladatai