 |
A B. 3936. feladat (2006. október) |
B. 3936. Milyen feltételeknek kell teljesülni az a, b, c valós számokra ahhoz, hogy minden n természetes számra létezzék olyan háromszög, amelynek az oldalai an, bn és cn?
Javasolta: Fried Ervin (Budapest)
(4 pont)
A beküldési határidő 2006. november 15-én LEJÁRT.
Megoldás. Nyilván mindhárom szám pozitív kell legyen. Tegyük fel, hogy a
bc, ekkor minden n természtes számra anbncn, tehát a szerkeszthetőség feltétele an<bn+cn lesz. Ha a>b lenne, akkor elegendően nagy n-re (c/a)n
(b/a)n<1/2 lenne, amiből an=an/2+an/2>bn+cn következne. Vagyis ekkor szükségképpen a=b. Ha viszont a=bc, akkor an<bn+cn nyilván teljesül minden n természetes számra. Szükséges és elégséges feltétel tehát, hogy mindhárom szám pozitív legyen, és hogy közülük a két legnagyobb megegyezzen, vagyis egyik se legyen határozottan nagyobb a másik kettőnél.
Statisztika:
152 dolgozat érkezett. 4 pontot kapott: 70 versenyző. 3 pontot kapott: 36 versenyző. 2 pontot kapott: 15 versenyző. 1 pontot kapott: 14 versenyző. 0 pontot kapott: 16 versenyző. Nem versenyszerű: 1 dolgozat.
A KöMaL 2006. októberi matematika feladatai