A B. 3937. feladat (2006. október)

B. 3937. Három vékony fémpálcából 8, 15, 17 cm oldalú háromszöget forrasztottunk, és a vízszintesen tartott háromszög vázra egy 5 cm sugarú tömör gömböt helyeztünk. Milyen arányban osztja a háromszög síkja a gömb térfogatát?

(4 pont)

A beküldési határidő 2006. november 15-én LEJÁRT.

Megoldás. Válasszuk a cm-t egységnek. Mivel 8²+15²=17², a háromszög derékszögű, területe t=8^.15/2=60, kerülete pedig k=40. Ezek alapján beírt körének sugara r=2t/k=3, ekkora sugarú körben metszi tehát a háromszög S síkja az R=5 sugarú gömböt. A Pitagorasz-tétel szerint a gömb középpontja d=4 egység távolságra van az S síktól. Az S által levágott gömbszelet magassága tehát h=R-d=1, így a gömbszelet térfogata V₁=h(3r²+h²)/6=28/6, míg az egész gömb térfogata V=4R³/3=1000/6. A keresett arány ezek szerint V₁:(V-V₁)=28:972=7:243.

Statisztika:

309 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	188 versenyző.
3 pontot kapott:	55 versenyző.
2 pontot kapott:	32 versenyző.
1 pontot kapott:	17 versenyző.
0 pontot kapott:	11 versenyző.
Nem versenyszerű:	6 dolgozat.

A KöMaL 2006. októberi matematika feladatai