Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A B. 3942. feladat (2006. november)

B. 3942. Melyek azok a kétjegyű páros \overline{ab} számok, amelyek ötödik hatványa \overline{ab}-re végződik?

(Tanárképző főiskolák matematika versenye, 1973)

(3 pont)

A beküldési határidő 2006. december 15-én LEJÁRT.

Megoldás. A binomiális tétel szerint

(\overline{ab})^5=(10a+b)^5=(10a)^5+5(10a)^4b+10(10a)^3b^2+10(10a)^2b^3+ 5(10a)b^4+b^5.

Itt az első négy tag nyilván osztható 100-zal, és az ötödik is, hiszen b páros szám. Tehát (\overline{ab})^5 utolsó két számjegye megegyezik b5 utolsó két számjegyével. Ha b 0 lenne, akkor innen a-ra is 0 adódna. Tehát b értéke 2,4,6 vagy 8 lehet, amikor is b5 utolsó két számjegye rendre 32, 24, 76, illetve 68, ezek lesznek tehát a megfelelő kétjegyű számok.

Statisztika:

315 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:225 versenyző.
2 pontot kapott:41 versenyző.
1 pontot kapott:27 versenyző.
0 pontot kapott:11 versenyző.
Nem versenyszerű:11 dolgozat.

A KöMaL 2006. novemberi matematika feladatai