A B. 3944. feladat (2006. november)

B. 3944. Ábrázoljuk a derékszögű koordináta-rendszerben azokat az (x;y) valós számpárokat, amelyekre

(3 pont)

A beküldési határidő 2006. december 15-én LEJÁRT.

Megoldás. Nyilván sem x, sem y értéke nem lehet 0. Közös nevezőre hozva, majd átrendezve az egyenlőtlenség így alakul:

Tekintsük az y-x=0, x-1=0, y-1=0, x=0 és y=0 egyeneseket. Az f tört nem értelmezhető, ha a P(x,y) pont az utolsó két egyenes valamelyikére esik, és pontosan akkor 0 az f értéke, ha P az első három egyenes valamelyikére esik (de az utolsó kettő egyikére sem). Ennek alapján az első három egyenes három pontját kell kizárnunk.

Az öt egyenes a síkot 12 részre osztja. Minden egyes ilyen nyílt tartományon belül az f tört előjele állandó. Pontosan akkor lesz f>0, ha az y-x, x-1, y-1, x és y kifejezések közül páratlan sok pozitív, a többi pedig negatív. Ez a helyzet például a III. síknegyed y=0 és y=x egyenesek által határolt A tartományában, ahol csak y-x értéke lesz pozitív, az összes többi negatív. Ha két tartománynak van közös (véges vagy végtelen hosszú) határoló szakasza, akkor az egyiken pozitív, a másikon pedig negatív lesz f értéke. Ezek alapján a szóban forgó pontokan könnyen ábrázolhatjuk az A tartományból kiindulva.

Statisztika:

157 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:	57 versenyző.
2 pontot kapott:	56 versenyző.
1 pontot kapott:	30 versenyző.
0 pontot kapott:	13 versenyző.
Nem versenyszerű:	1 dolgozat.

A KöMaL 2006. novemberi matematika feladatai