Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A B. 3945. feladat (2006. november)

B. 3945. Oldjuk meg az alábbi egyenletrendszert:

x3+y3+z3=8,

x2+y2+z2=22,

\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{z}{xy}=0.

(3 pont)

A beküldési határidő 2006. december 15-én LEJÁRT.

Megoldás. A 3 szám egyike sem lehet 0. Az utolsó egyenletet xyz-vel beszorozva yz+xz+xy+z2=0, vagyis (x+z)(y+z)=0, ami csak úgy lehet, ha valamelyik tényező 0, tehát x=-z, vagy y=-z. Az első esetben x3=-z3, vagyis az első egyenletből y=2, ezt a másodikba behelyettesítve x2+z2=2z2=18. Ekkor x=3,z=-3, vagy x=-3,z=3. Hasonlóképpen járhatunk el a másik esetben is, így kapjuk az egyenletrendszer következő 4 lehetséges megoldását: x1=3, y1=2, z1=-3, x2=-3, y2=2, z2=3, x3=2, y3=3, z3=-3, x4=2, y4=-3, z4=3. Ezek pedig valóban ki is elégítik mindhárom egyenletet.

Statisztika:

234 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:114 versenyző.
2 pontot kapott:70 versenyző.
1 pontot kapott:19 versenyző.
0 pontot kapott:17 versenyző.
Nem versenyszerű:14 dolgozat.

A KöMaL 2006. novemberi matematika feladatai