 |
A B. 3959. feladat (2006. december) |
B. 3959. Jelölje K az A1A2A3 háromszög tetszőleges belső pontját. Legyen Si (i=1,2,3) a KAjAk háromszög súlypontja. Bizonyítsuk be, hogy az AiSi szakaszok egy ponton haladnak át.
(4 pont)
A beküldési határidő 2007. január 15-én LEJÁRT.
Megoldás: Vegyünk fel a háromszög H síkján kívül egy K' pontot, amelynek H-ra való merőleges vetülete éppen a K pont. Ha a K'AjAk háromszög súlypontja S'i, az AjAk szakasz felezőpontja pedig Fi, akkor Si éppen a KFi szakasz Fi-hez közelebbi harmadolópontja, S'i pedig a K'Fi szakasz Fi-hez közelebbi harmadolópontja. A K'KFi háromszöget tehát Fi középpontú 1/3 arányú hasonlóság viszi az S'iSiFi háromszögbe, ezért K'K párhuzamos az S'iSi szakasszal, vagyis Si éppen az S'i pont merőleges vetülete a H síkra. Az AiS'i szakaszok egy közös S ponton haladnak át, amely az A1A2A3K' tetraéder súlypontja. Ezért az ASi szakaszok, melyek az előbbi szakaszok H-ra való vetületei, szintén egy ponton mennek át, mégpedig az S pontnak a H síkra való merőleges vetületén.
Statisztika:
86 dolgozat érkezett. 4 pontot kapott: 75 versenyző. 3 pontot kapott: 4 versenyző. 2 pontot kapott: 2 versenyző. 1 pontot kapott: 2 versenyző. 0 pontot kapott: 3 versenyző.
A KöMaL 2006. decemberi matematika feladatai