A B. 3960. feladat (2006. december)

B. 3960. Állítsunk merőlegeseket egy hiperbola valós tengelyére annak két végpontjában. Ezeknek egy tetszőleges érintővel való metszéspontjait jelöljük P-vel és Q-val.

Igazoljuk, hogy a PQ szakasz a fókuszokból derékszögben látszik.

Javasolta: Vajda István (Budapest)

(5 pont)

A beküldési határidő 2007. január 15-én LEJÁRT.

Megoldás: Alkalmas derékszögű koordinátarendszerben a hiperbola egyenlete

$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1.$

Ekkor a fókuszpontok $F_1(-\sqrt{a^2+b^2};0)$ és $F_2(\sqrt{a^2+b^2};0)$ , a valós tengely végpontjai (-a;0) és (a,0), az ezen pontokban a tengelyre állított merőlegesek egyenlete pedig x=-a, illetve x=a. Legyen a szóban forgó érintő egyenlete Ax+By+C=0, ekkor a²A²-b²B²=C², a metszéspontok P(-a;p), Q(a;q) koordinátáira pedig

$p=\frac{-C+aA}{B},\quad q=\frac{-C-aA}{B},$

ahonnan a PQ szakasz felezőpontja M=(0;-C/B).

Thalesz tétele értelmében elegendő azt belátni, hogy a két fókuszpont a PQ átmérőjű körvonalra esik, vagyis hogy MP=MQ=MF₁=MF₂. Itt

$MP^2=MQ^2=a^2+\Bigl(p-\frac{-C}{B}\Bigr)^2=a^2+\Bigl(\frac{aA}{B}\Bigr)^2$

és

$MF_1^2=MF_2^2=(a^2+b^2)+\Bigl(\frac{C}{B}\Bigr)^2,$

vagyis a bizonyítandó állítás ekvivalens az

$a^2+\frac{a^2A^2}{B^2}=a^2+b^2+\frac{C^2}{B^2}$

egyenlőséggel, amit viszont beszorzás és rendezés után a már látott a²A²-b²B²=C² alakra hozhatunk.

Statisztika:

50 dolgozat érkezett.

5 pontot kapott: Bogár 560 Péter, Csaba Ákos, Fridrik József Richárd, Kardos Kinga Gabriela, Szalóki Dávid, Wolosz János.

4 pontot kapott: Anda Roland, Bakacsi Péter, Blázsik Zoltán, Bodor Bertalan, Bozi Veronika, Csizmadija Laura, Fegyverneki Tamás, Findrik Dénes, Fonyó Dávid, Földi Sándor, Grósz Dániel, Havasy András, Horváth 385 Vanda, Kemenes Sarolta, Kornis Kristóf, Kunos Ádám, Kunovszki Péter, Lovas Lia Izabella, Márkus Bence, Peregi Tamás, Pintér Zsófia, Sárkány Lőrinc, Sümegi Károly, Szalkai Balázs, Szathmáry Anna, Szikszay László, Szőke Nóra, Szűcs Gergely, Tossenberger Anna, Véges Márton.

3 pontot kapott: 10 versenyző.

2 pontot kapott: 4 versenyző.

A KöMaL 2006. decemberi matematika feladatai

50 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Bogár 560 Péter, Csaba Ákos, Fridrik József Richárd, Kardos Kinga Gabriela, Szalóki Dávid, Wolosz János.
4 pontot kapott:	Anda Roland, Bakacsi Péter, Blázsik Zoltán, Bodor Bertalan, Bozi Veronika, Csizmadija Laura, Fegyverneki Tamás, Findrik Dénes, Fonyó Dávid, Földi Sándor, Grósz Dániel, Havasy András, Horváth 385 Vanda, Kemenes Sarolta, Kornis Kristóf, Kunos Ádám, Kunovszki Péter, Lovas Lia Izabella, Márkus Bence, Peregi Tamás, Pintér Zsófia, Sárkány Lőrinc, Sümegi Károly, Szalkai Balázs, Szathmáry Anna, Szikszay László, Szőke Nóra, Szűcs Gergely, Tossenberger Anna, Véges Márton.
3 pontot kapott:	10 versenyző.
2 pontot kapott:	4 versenyző.

Már regisztráltál?
Új vendég vagy?