A B. 3961. feladat (2006. december)

B. 3961. Legyenek a és b olyan pozitív egész számok, hogy minden n pozitív egész számra aⁿ+n osztója bⁿ+n-nek. Igazoljuk, hogy a=b.

(5 pont)

A beküldési határidő 2007. január 15-én LEJÁRT.

Megoldás: Mivel végtelen sok prímszám van, létezik végtelen sok olyan $p_1,p_2,\ldots$ prímszám is, melyek nem osztói sem a-nak, sem b-nek. Ha tehát valamely i-re p=p_i, akkor a kis Fermat tétel értelmében a^p-1 és b^p-1 is 1 maradékot ad p-vel osztva, sőt bármilyen pozitív k egész számra igaz, hogy $a^{k(p-1)}\equiv b^{k(p-1)}\equiv 1\pmod{p}$ . Ennélfogva minden

$n\in N=\{(p-1)+1, 2(p-1)+1,\ldots,p(p-1)+1\}$

esetén igaz, hogy $a^n\equiv a\pmod{p}$ és $b^n\equiv b\pmod{p}$ .

N elemei közül bármely kettő különbsége k(p-1) alakba írható valamely 1 és p-1 közé eső k egész számmal, tehát nem lehet p-vel osztható. Ezért az N halmaz p eleme mind különböző maradékot ad p-vel osztva, vagyis ezen maradékok között az összes lehetséges maradék előfordul, amely p-vel való osztásnál keletkezhet. Van tehát egy olyan n $\in$ N, amelyre n p-vel osztva ugyanolyan maradékot ad, mint -a, vagyis a+n osztható p-vel. Mivel aⁿ-a is osztható p-vel, kapjuk hogy aⁿ+n, és így bⁿ+n, következésképpen b+n is osztható p-vel. Ebből viszont már következik, hogy b-a is osztható p-vel.

A b-a szám tehát osztható a végtelen sok $p_1,p_2,\ldots$ prímszám mindegyikével, következésképpen csak 0 lehet, vagyis valóban a=b.

Statisztika:

16 dolgozat érkezett.

5 pontot kapott: Bodor Bertalan, Szűcs Gergely.

2 pontot kapott: 4 versenyző.

0 pontot kapott: 10 versenyző.

A KöMaL 2006. decemberi matematika feladatai

16 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Bodor Bertalan, Szűcs Gergely.
2 pontot kapott:	4 versenyző.
0 pontot kapott:	10 versenyző.

Már regisztráltál?
Új vendég vagy?