A B. 3963. feladat (2007. január)

B. 3963. Egy bábut kell eljuttatnunk a sakktábla bal alsó sarkából az átellenes sarokba úgy, hogy egyesével léphetünk jobbra vagy felfelé. Hány olyan útvonal van, amelyik áthalad a középső négy mező valamelyikén?

(4 pont)

A beküldési határidő 2007. február 15-én LEJÁRT.

Megoldás: Ha az útvonal áthalad a D mezőn, akkor vagy a B-n, vagy a C-n át kell haladnia. A B mezőre vagy az A-ról, vagy az E-ről léphet, a C-re pedig A-ról vagy F-ről. Azt kell tehát összeszámolni, hány olyan útvonal van, amely a) áthalad A-n, vagy b) áthalad E-n és B-n, vagy c) áthalad F-en és C-n. Ez az átfogalmazás azért hasznos, mert a három eset páronként kizárja egymást. Szimmetria okok miatt pedig a c) esetben pontosan ugyanannyi úvonalat számolhatunk össze, mint a b) esetben.

A bal alsó saroktól az A mezőig 6 lépés alatt juthatunk el, ebből pontosan 3-szor kell jobbra lépnunk (és 3-szor felfelé), erre tehát lehetőségünk van. Hasonlóképpen, ha az A-ból el szeretnénk jutni a jobb fölső sarokba, akkor az ehhez szükséges 8 lépésből pontosan 4-szer kell jobbra lépnünk, a lehetőségek száma tehát . Az a) esetben tehát 20^.70=1400 különböző útvonalat számolhatunk össze.

A b) esetre térve, a bal alsó sarokból E-be féleképp juthatunk el, innen át kell lépnünk B-re, onnan a jobb fölső sarokba pedig féleképpen haladhatunk tovább, vagyis összesen 15^.35 ilyen útvonal van, akárcsak a c) esetben.

Az összes lehetséges útvonal száma tehát

20^.70+2^.15^.35=35^.70=2450.

Statisztika:

268 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	217 versenyző.
3 pontot kapott:	15 versenyző.
2 pontot kapott:	10 versenyző.
1 pontot kapott:	8 versenyző.
0 pontot kapott:	16 versenyző.
Nem versenyszerű:	2 dolgozat.

A KöMaL 2007. januári matematika feladatai