 |
A B. 3965. feladat (2007. január) |
B. 3965. Az ABC hegyesszögű háromszög AB és AC oldala fölé kifelé félköröket rajzolunk. A szemközti csúcsokból húzott magasságvonalak egyenesének a félkörökkel való metszéspontja legyen M és N. Bizonyítsuk be, hogy AM=AN.
(3 pont)
A beküldési határidő 2007. február 15-én LEJÁRT.
Megoldás: Tegyük fel, hogy az M pont van a B-ből induló magasság egyenesén. Jelölje BM és AC metszéspontját X. Az AXM és AMC derékszögű háromszögek hasonlóságából AM:AX=AC:AM, vagyis AM2=AX.AC. A szokásos jelölésekkel itt AC=b és AX=acos 
, tehát . Szimmetria okok miatt ugyanez a képlet érvényes AN-re is.
Statisztika:
107 dolgozat érkezett. 3 pontot kapott: 98 versenyző. 2 pontot kapott: 5 versenyző. 1 pontot kapott: 1 versenyző. 0 pontot kapott: 2 versenyző. Nem versenyszerű: 1 dolgozat.
A KöMaL 2007. januári matematika feladatai