 |
A B. 3967. feladat (2007. január) |
B. 3967. Szerkesszük meg a háromszöget, ha adott egy szöge, továbbá a szög csúcsából induló magasságának és súlyvonalának hossza.
(4 pont)
A beküldési határidő 2007. február 15-én LEJÁRT.
Megoldás: Az ABC háromszögben adott a BAC szög (
), az AM magasság (ma) és az AF súlyvonal (sa). A szerkeszthetőség szükséges feltétele sa
ma. Mint látni fogjuk, ez elégséges feltétel is, melynek teljesülése esetén az ABC háromszög egybevégóság erejéig egyértelműen megszerkeszthető. Ha sa=ma, akkor az egyenlőszárú ABC háromszög megszerkesztéséhez az AF szakasszal /2 szöget bezáró félegyeneseket szerkesztünk, melyek végpontja A, a B,C pontokat az AF szakaszra annak F végpontjában állított merőleges metszi ki ezen félegyenesekből.
A továbbiakban feltesszük, hogy sa>ma, vagyis M
F, és hogy a B csúcs az FM félegyensre esik. Az AFM derékszögű megszerkesztésével nyert AFM szöget jelölje 
. Egy tetszőlegesen felvett B'C' szakaszra az ABC-hez hasonló A'B'C' háromszöget úgy szerkeszthetjük meg, hogy B'C' fölé szögű látókörívet szerkesztünk, majd ezt elmetsszük azzal a félegyenessel, amely a B'C' szakasz F' felezőpontjából indul és az F'B' félegyenessel szöget zár be. Így kapjuk az A=A' pontot, majd az A'B'C' háromszöget megfelelő arányban nagyítva az ABC háromszöget: az AF' félegyenesre A-ból az AF=sa szakaszt felmérve és F-en át B'C'-vel párhuzamost húzva, az az A'B' és A'C' félegyenesekből kimetszi a B, C pontokat.
Statisztika:
165 dolgozat érkezett. 4 pontot kapott: 104 versenyző. 3 pontot kapott: 24 versenyző. 2 pontot kapott: 19 versenyző. 1 pontot kapott: 11 versenyző. 0 pontot kapott: 7 versenyző.
A KöMaL 2007. januári matematika feladatai