A B. 3968. feladat (2007. január)

B. 3968. Oldjuk meg az alábbi egyenlőtlenséget:

$\sqrt{x + \sqrt{x}} - \sqrt{x - \sqrt{x}} > \frac{4}{3} \sqrt{\frac{x}{x + \sqrt{x}}}.$

(4 pont)

A beküldési határidő 2007. február 15-én LEJÁRT.

Megoldás: A baloldalon álló kivonandó csak akkor értelmes, ha x $\ge$ 0 és $x\ge \sqrt{x}$ , vagyis x $\ge$ 1. Ezen feltétel mellett az egyenlőtlenségben szereplő valamennyi kifejezés értelmes, és az ekvivalens a pozitív $\sqrt{x + \sqrt{x}} + \sqrt{x - \sqrt{x}}$ mennyiséggel történő beszorzás után adódó

$(x+\sqrt{x})-(x-\sqrt{x})>\frac{4}{3} \Biggl( \sqrt{x}+ \sqrt{\frac{x(x-\sqrt{x})}{x+\sqrt{x}}} \Biggr)$

egyenlőtlenséggel. Ha x=1, akkor a baloldalon 2, míg a jobboldalon 4/3 áll, egyébként x>1, amikor is a nagy gyökjel alatt álló törtet $(x-\sqrt{x})$ -szel bővítve egyenlőtlenségünk

$2\sqrt{x} >\frac{4}{3} \Biggl( \sqrt{x}+ \sqrt{\frac{x(x-\sqrt{x})^2}{x^2-x}} \Biggr)= \frac{4}{3} \Biggl( \sqrt{x}+(x-\sqrt{x})\sqrt{\frac{1}{x-1}}\Biggr)$

alakba írható, ami pedig (az x>1 feltétel mellett) ekvivalens sorban a

$\frac{2}{3} \sqrt{x}> \frac{4}{3} (x-\sqrt{x})\sqrt{\frac{1}{x-1}},$

$\sqrt{x-1}\sqrt{x}>2(x-\sqrt{x}),$

$x-1>4(\sqrt{x}-1)^2,$

$0>3x-8\sqrt{x}+5$

egyenlőtlenségekkel. Az $y=\sqrt{x}>1$ új változóval ez

0>3y²-8y+5=(3y-5)(y-1)

alakba írható, aminek megoldása 1<y<5/3, vagyis 1<x<25/9. Ezt az x=1 megoldással kiegészítve kapjuk az egyenlőtlenség megoldását:

$1\le x<\frac{25}{9}.$

Statisztika:

198 dolgozat érkezett.

4 pontot kapott: 110 versenyző.

3 pontot kapott: 36 versenyző.

2 pontot kapott: 23 versenyző.

1 pontot kapott: 13 versenyző.

0 pontot kapott: 12 versenyző.

Nem versenyszerű: 4 dolgozat.

A KöMaL 2007. januári matematika feladatai

198 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	110 versenyző.
3 pontot kapott:	36 versenyző.
2 pontot kapott:	23 versenyző.
1 pontot kapott:	13 versenyző.
0 pontot kapott:	12 versenyző.
Nem versenyszerű:	4 dolgozat.

Már regisztráltál?
Új vendég vagy?