A B. 3970. feladat (2007. január)

B. 3970. Bizonyítsuk be, hogy egy egységnyi oldalú szabályos hétszög átlói hosszának harmonikus közepe 2.

(4 pont)

A beküldési határidő 2007. február 15-én LEJÁRT.

Megoldás: Jelölje a másodszomszédos csúcsokat összekötő átlók hosszát x, a harmadszomszédosokat összekötőkét y. Mivel ugyanannyi x hosszúságú átló van, mint y hosszúságú, az összes átló harmonikus közepe ugyanannyi mint x és y harmonikus közepe, vagyis a bizonyítandó állítást x+y=xy alakban is felírhatjuk. A hétszög köré írható kör sugara r=1/2sin ( $\pi$ /7), továbbá x=2rsin (2 $\pi$ /7) és y=2rsin (3 $\pi$ /7). Behelyettesítés és sin²( $\pi$ /7)-tel való beszorzás után a bizonyítandó állítást

$\sin\frac{2\pi}{7}\sin\frac{\pi}{7}+ \sin\frac{3\pi}{7}\sin\frac{\pi}{7}= \sin\frac{2\pi}{7}\sin\frac{3\pi}{7}$

alakra hozhatjuk. A 2sin $\alpha$ sin $\beta$ =cos ( $\alpha$ - $\beta$ )-cos ( $\alpha$ + $\beta$ ) addíciós tétel szerint ez ekvivalens a

$\Bigl(\cos\frac{\pi}{7}-\cos\frac{3\pi}{7}\Bigr)+ \Bigl(\cos\frac{2\pi}{7}-\cos\frac{4\pi}{7}\Bigr)= \cos\frac{\pi}{7}-\cos\frac{5\pi}{7}$

összefüggéssel, ami nyilvánvalóan érvényes, hiszen

$\cos\frac{2\pi}{7}+\cos\frac{5\pi}{7}= \cos\frac{3\pi}{7}+\cos\frac{4\pi}{7}=0.$

Statisztika:

132 dolgozat érkezett.

4 pontot kapott: 90 versenyző.

3 pontot kapott: 4 versenyző.

2 pontot kapott: 33 versenyző.

1 pontot kapott: 2 versenyző.

Nem versenyszerű: 3 dolgozat.

A KöMaL 2007. januári matematika feladatai

132 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	90 versenyző.
3 pontot kapott:	4 versenyző.
2 pontot kapott:	33 versenyző.
1 pontot kapott:	2 versenyző.
Nem versenyszerű:	3 dolgozat.

Már regisztráltál?
Új vendég vagy?