A B. 3971. feladat (2007. január)

B. 3971. A nemnegatív x, y, z számok összege 1. Legyen

$S= x^2y+y^2z+z^2x+xy^2+yz^2+zx^2 \qquad \hbox{\'es}\qquad C=x^2y+y^2z+z^2x.$

Milyen nagy lehet S, illetve C?

(5 pont)

A beküldési határidő 2007. február 15-én LEJÁRT.

Megoldás: Vizsgáljuk először az S értékét. Feltehetjük, hogy a számok közül z a legkisebb, ekkor c=1-z=x+y $\ge$ 2/3.

S=cxy+(c²-2xy)(1-c)+c(1-c)²=(3c-2)xy+c(1-c).

Itt xy $\le$ c²/4, ahol egyenlőség pontosan az x=y=c/2 esetben áll fenn. Ezért

$S^2\le (3c-2)\frac{c^2}{4}+c(1-c)= \frac{3}{4}c^3-\frac{3}{2}c^2+c:=f(c),$

ahol egyenlőség pontosan az x=y=c/2 esetben áll fenn. A jobboldalon álló függvény c szerinti deriváltja

$f'(c)=\frac{9}{4}c^2-3c+1=\Bigl(\frac{3}{2}c-1\Bigr)^2.$

Az f(c) függvény tehát az egész számegyenesen szigorúan monoton nő, a 2/3 $\le$ c $\le$ 1 feltétel mellett tehát legnagyobb értékét a c=1 helyen veszi fel. Ezek alapján S lehetséges legnagyobb értéke S_max=f(1)=1/4, amit z=0, x=y=1/2 esetén, illetve a kezdetben z-re tett feltételt mellőzve szimmetria okok miatt még x=0, y=z=1/2, illetve y=1, x=z=1/2 esetén vesz fel.

C értékét vizsgálva is feltehetjük, hogy z a legkisebb, ekkor 0 $\le$ z $\le$ 1/3. Mivel x,y $\ge$ z, innen y=1-z-x, ahol x tetszőleges eleme a [z,1-2z] intervallumnak. Rögzített z mellett vizsgáljuk az

f(x):=C=-x³+x²+(3z²-2z)x+(z³-2z²+z)

függvényt. Ennek deriváltja, f'(x)=-3x²+2x+(3z²-2z) pontosan akkor 0, ha x₁=z, vagy x₂=2/3-z. Mivel z $\le$ 2/3-z és f főegyütthatója negatív, a [z, $\infty$ ) intervallumon f(x) maximumát az x=2/3-z helyen veszi fel. Mivel pedig 2/3-z $\in$ [z,1-2z], rögzített 0 $\le$ z $\le$ 1/3 esetén C értéke akkor a lehető legnagyobb, ha x=2/3-z, y=1/3. Ekkor a

$g(z):=C=-z^3+z^2-\frac{1}{3}z+\frac{4}{27}$

deriváltja g'(z)=-(3z-2)²/3, vagyis a g függvény szigorúan monoton csökken, a [0,1/3] intervallumban legnagyobb értékét a z=0 helyen veszi fel. Ezek alapján C lehetséges legnagyobb értéke C_max=g(0)=4/27, amit z=0, y=1/3, x=2/3 esetén, illetve a kezdetben z-re tett feltételt mellőzve szimmetria okok miatt még x=0, z=1/3, y=2/3, illetve y=0, x=1/3, z=2/3 esetén vesz fel.

Statisztika:

42 dolgozat érkezett.

5 pontot kapott: Almási 270 Gábor András, Blázsik Zoltán, Bodor Bertalan, Bogár 560 Péter, Csaba Ákos, Csizmadija Laura, Éles András, Grósz Dániel, Kunos Ádám, Nagy 314 Dániel, Sümegi Károly, Szalkai Balázs, Szalóki Dávid, Szűcs Gergely, Tóth 666 László Márton.

4 pontot kapott: Cseh Ágnes, Fonyó Dávid, Honner Balázs, Lovas Lia Izabella, Mercz Béla, Peregi Tamás, Sárkány Lőrinc, Somogyi Ákos, Tossenberger Anna, Tóth 796 Balázs, Wolosz János, Zieger Milán.

3 pontot kapott: 4 versenyző.

2 pontot kapott: 2 versenyző.

0 pontot kapott: 9 versenyző.

A KöMaL 2007. januári matematika feladatai

42 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Almási 270 Gábor András, Blázsik Zoltán, Bodor Bertalan, Bogár 560 Péter, Csaba Ákos, Csizmadija Laura, Éles András, Grósz Dániel, Kunos Ádám, Nagy 314 Dániel, Sümegi Károly, Szalkai Balázs, Szalóki Dávid, Szűcs Gergely, Tóth 666 László Márton.
4 pontot kapott:	Cseh Ágnes, Fonyó Dávid, Honner Balázs, Lovas Lia Izabella, Mercz Béla, Peregi Tamás, Sárkány Lőrinc, Somogyi Ákos, Tossenberger Anna, Tóth 796 Balázs, Wolosz János, Zieger Milán.
3 pontot kapott:	4 versenyző.
2 pontot kapott:	2 versenyző.
0 pontot kapott:	9 versenyző.

Már regisztráltál?
Új vendég vagy?