A B. 3977. feladat (2007. február)

B. 3977. Legyenek x, y, z pozitív valós számok, melyekre:

x²+xy+y²=2,

y²+yz+z²=5,

z²+xz+x²=3.

Határozzuk meg xy+yz+xz értékét.

(4 pont)

A beküldési határidő 2007. március 19-én LEJÁRT.

Megoldás: Ha a második egyenletből kivonjuk a harmadikat, az (y-x)(x+y+z)=2, a harmadikból az elsőt kivonva pedig a (z-y)(x+y+z)=1 egyenletre jutunk. Innen y-x=2(z-y), vagyis x=3y-2z, x+y+z=4y-z, ahonnan (z-y)(4y-z)=1. Az y,z ismeretlenekre tehát van két egyenletünk: y²+yz+z²=5 és -4y²+5yz-z²=1. Innen z² kiküszöbölésével (a két egyenletet összeadva, majd 3-mal való osztás után) a -y²+2yz=2, yz kiküszöbölésével pedig a 3y²+2z²=8 összefüggésre jutunk.

Tehát 2yz=2+y², 4y²z²=4+4y²+y⁴. Az Y=y² jelöléssel, 2z²=8-3Y helyettesítéssel 2Y(8-3Y)=4+4Y+Y², vagyis 7Y²-12Y+4=0, ahonnan Y értékére adódik. Mármost x<y miatt az x²+xy+y²=2 egyenletből Y>2/3, vagyis , és .

A (z-x)(x+y+z)=3 egyenletben az y=(x+2z)/3 helyettesítést alkalmazva kapjuk, hogy (z-x)(4x+5z)=9, vagyis 5z²-xz-4x²=9. Ezt az x²+xz+z²=3 egyenlettel összevetve 2z²-x²=4 adódik. Innen . Végül a három eredeti egyenlet összeadásával kapjuk, hogy

Ugyanezt az eredményt számolás nélkül is megkaphatjuk egy geometriai interpretációval. Az első egyenletből látszik, hogy , vagyis az hosszú szakaszokból háromszög szerkeszthető. A koszinusz-tétel szerint az első egyenlet azt fejezi ki, hogy ebben a háromszögben az x,y oldalak éppen 120^o-os szöget zárnak be. Innen már látszik, hogy az egyenletrendszer megoldását úgy kapjuk meg, hogy egy , és oldalakkal bíró derékszögű háromszöghöz keresünk egy (nem feltétlenül a háromszög síkjába eső) P pontot, amelyből mindegyik oldal 120^o-os szög alatt látszik; x,y,z éppen a P pontnak a háromszög megfelelő csúcsaitól vett távolsága lesz. Könnyen látható, hogy egyetlen ilyen P pont létezik, méghozzá a háromszög belsejében; ezt hívják a háromszög izogonális pontjának. P-t a csúcsokkal összekötő szakaszok a háromszöget három kis háromszögre bontják, melyek területe rendre xysin 120^o/2, yzsin 120^o/2 és xzsin 120^o/2. Ezek összege egyenlő a háromszög területével, amelyről tudjuk, hogy . Az ebből nyert egyenlőség mindkét oldalát -mal szorozva kapjuk, hogy .

Statisztika:

94 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	Ágoston Tamás, Almási 270 Gábor András, Bakacsi Péter, Berecz Dénes, Bogár 560 Péter, Cséke Balázs, Dékány Tamás, Fonyó Dávid, Fridrik József Richárd, Gombor Tamás, Gresits Iván, Győrffy Lajos, Gyurcsik Judit, Herber Máté, Honner Balázs, Horváth 385 Vanda, Kardos Kinga Gabriela, Keresztfalvi Tibor, Korom-Vellás Judit, Kunos Ádám, Kunovszki Péter, Majoros Péter, Márkus Bence, Mercz Béla, Müller Márk, Németh Kitti Noémi, Páldy Sándor, Pásztor Bálint, Peregi Tamás, Rózsa Levente, Sárkány Lőrinc, Sümegi Károly, Szalai Zsófia, Szalkai Balázs, Szalóki Dávid, Szikszay László, Szórádi Márk, Szudi László, Szűcs Gergely, Ta Phuong Linh, Tallián György, Tossenberger Anna, Tóth 666 László Márton, Varga 171 László, Wolosz János.
3 pontot kapott:	28 versenyző.
2 pontot kapott:	3 versenyző.
1 pontot kapott:	4 versenyző.
0 pontot kapott:	14 versenyző.

A KöMaL 2007. februári matematika feladatai