 |
A B. 3979. feladat (2007. február) |
B. 3979. Az ABC háromszöget betűzzük pozitív körüljárás szerint. A háromszög szögei az A, B, illetve C csúcsnál rendre 
, 
és 
. A B csúcsot az A pont körül negatív irányban elforgatjuk szöggel, majd az így kapott B1 pontot a B pont körül negatív irányban elforgatjuk szöggel, és végül az így nyert B2 pontot a C pont körül negatív irányban szöggel elforgatva a B3 pontba jutunk.
Szerkesszük meg a háromszöget, ha adottak a B, B3 pontok és az ABC háromszög beírt körének O középpontja. Vizsgáljuk meg azt is, hogyan alakul a megoldás a három adott pont elhelyezkedésétől függően.
(OKTV feladat nyomán)
(4 pont)
A beküldési határidő 2007. március 19-én LEJÁRT.
Megoldás: Jelölje a P pont körüli 
irányított szöggel történő elforgatást , a v vektorral történő eltolást Ev. Gondoljuk meg a következő pár dolgot. Először is, a
forgatást elvégezhetjük úgy, hogy először a P pontot eltoljuk az O-ba, vagyis az Ev eltolást alkalmazzuk, ahol
, majd alkalmazzuk az
forgatást, végül visszatoljuk az O pontot a P-be, vagyis alkalmazzuk az E-v eltolást. Ezt képletben így fejezhetjük ki:
, ahol az egymás mellé írással fejeztük ki a leképezések kompozícióját. Másrészt tetszőleges F forgatásra FEv=EwF, ahol a w vektor éppen a v vektor elforgatottja, vagyis w=F(v). Végül nyilvánvalóan EuEv=Eu+v és
.
Jelöléseinkkel B3=T(B), ahol a T transzformációt az ,
,
jelölésekkel a
képlet adja meg. Fenti meggondolásaink alapján ezt alkalmas z vektorral a
alakra hozhatjuk, hiszen
++=
. A z vektort legkönnyebben a észrevétel segítségével határozhatjuk meg: az első forgatásnál az O pont képe az O-nak az AB egyenesre vett tükörképe lesz, a második forgatás után ez visszakerül O-ba, a harmadik pedig elviszi az O pontnak az AC oldalra vett tükörképébe. Ezért
, ahol D az O pont vetülete az AC egyenesre, vagyis az a pont, ahol a beírt kör érinti az AC oldalt.
Mivel az O pontra való tükrözés, a T transzformáció nem más, mint a D pontra való tükrözés, vagyis a D pont éppen a BB3 szakasz felezőpontja. Ennek alapján a szerkesztés menete a következő: megszerkesztjük a BB3 szakasz D felezőpontját, majd az O középpontú OD sugarú k kört, ez lesz a háromszög beírt köre. A B pontból érintőket húzunk k-hoz, illetve meghúzzuk a k kör D pontbeli érintőjét. Az így kapott három egyenes lesznek a keresett háromszög oldalegyenesei, a B pont és a pozitív körüljárási irány a háromszöget egyértelműen meghatározza. Az elmondottakból világos, hogy a feladatnak ez az egyetlen lehetséges megoldása.
A fenti szerkesztési lépéseket csak akkor tudjuk elvégezni, ha O
D és az OD távolság kisebb az OB távolságnál. Az eljárás akkor és csak akkor fog helyes eredményre vezetni, ha a B-ből k-hoz húzott érintők érintési pontjait O-ra tükrözve, a D pont a k körnek az így kapott pontok által kijelölt rövidebbik ívére esik. Ez pontosan akkor teljesül, ha a D pont O-ra vett tükörképét D'-vel jelölve, az OD'B szög 90o-nál nagyobb, vagyis a D' pont az OB átmérőjű kör belsejébe esik; ekkor viszont a 0<OD=OD'<OB feltétel is automatikusan teljesül. Ezt a három adott pontra megfogalmazva, a feladatnak pontosan akkor van - méghozzá pontosan egy - megoldása, ha a vektor hossza kisebb a B és O pontok távolságánál.
Statisztika:
34 dolgozat érkezett. 4 pontot kapott: Árvay Anna, Bartha Zsolt, Bogár 560 Péter, Dinh Van Anh, Fonyó Dávid, Grósz Dániel, Szalkai Balázs, Szőke Nóra, Szűcs Gergely, Tossenberger Anna, Wolosz János. 3 pontot kapott: Blutman Kristóf László, Bodor Bertalan, Cseh Ágnes, Honner Balázs, Kiss 243 Réka, Korom-Vellás Judit, Majoros Csilla, Szabó 895 Dávid, Szalóki Dávid, Tóth 666 László Márton. 2 pontot kapott: 12 versenyző. 0 pontot kapott: 1 versenyző.
A KöMaL 2007. februári matematika feladatai