A B. 3986. feladat (2007. március)

B. 3986. Tetszőleges pozitív egész m-re jelölje s(m) az m számjegyeinek az összegét. Határozzuk meg az összes olyan n pozitív egészt, amelynek egyetlen számjegye sem nulla, és teljesíti az

s(n²)=2^s(n)

összefüggést.

Javasolta: Dobribán Edgár (Kolozsvár, Báthory I. Líceum, 11. évf.)

(4 pont)

A beküldési határidő 2007. április 16-án LEJÁRT.

Megoldás: Tegyük fel, hogy az n szám k-jegyű, vagyis 10^k-1 $\le$ n<10^k, ekkor k $\le$ s(n) a feltétel miatt. Mivel n²<10^2k, az n² szám legfeljebb 2k-jegyű, vagyis s(n²) $\le$ 18k. Ezért

2^k $\le$ 2^s(n)=s(n²) $\le$ 18k,

ahonnan k $\le$ 6, tehát s(n) $\le$ 6 is igaz. Ha s(n)=6 lenne, akkor n osztható lenne 3-mal, vagyis n² és így 2^s(n)=s(n²) is osztható lenne 3-mal. Ezek szerint s(n²) lehetséges érteékei 2,4,8,16,32. Viszont s(n²) ugyanolyan maradékot ad 9-cel osztva, mint n², ez a maradék pedig csak 0,1,4 vagy 7 lehet. Ezért vagy s(n)=2 és s(n²)=4, vagy pedig s(n)=4 és s(n²)=16.

Az s(n) $\in$ {2,4} feltételnek megfelelő számok a következők:

2,11,4,13,22,31,112,121,211,1111.

Ezek közül az n=4-re s(n)=7, ez tehát nem jó. Az összes többi szám viszont megoldása a feladatnak.

Statisztika:

75 dolgozat érkezett.

4 pontot kapott: Aczél Gergely, Almási 270 Gábor András, Balogh 147 Ádám, Bartha Zsolt, Bencs 111 Ferenc, Berecz Dénes, Blázsik Zoltán, Bodor Bertalan, Bóra Eszter, Csaba Ákos, Dékány Tamás, Éles András, Farkas Ádám László, Farkas Márton, Fonyó Dávid, Frankl Nóra, Godó Zita, Gyurcsik Judit, Herber Máté, Honner Balázs, Horváth 385 Vanda, Károlyi Gergely, Kiss 902 Melinda Flóra, Korom-Vellás Judit, Kriván Bálint, Kunos Ádám, Kunovszki Péter, Lovas Lia Izabella, Mihálykó Ágnes, Nagy 314 Dániel, Nagy 648 Donát, Novák László, Palincza Richárd, Peregi Tamás, Ratku Antal, Rózsa Levente, Salát Zsófia, Somogyi Ákos, Sümegi Károly, Szabó 895 Dávid, Szalóki Dávid, Szikszay László, Szűcs Gergely, Tallián György, Tóth 666 László Márton, Tóth 796 Balázs, Tóth Réka Judit, Varga 171 László, Véges Márton, Wolosz János.

3 pontot kapott: 11 versenyző.

2 pontot kapott: 4 versenyző.

1 pontot kapott: 5 versenyző.

0 pontot kapott: 3 versenyző.

Nem versenyszerű: 2 dolgozat.

A KöMaL 2007. márciusi matematika feladatai

75 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	Aczél Gergely, Almási 270 Gábor András, Balogh 147 Ádám, Bartha Zsolt, Bencs 111 Ferenc, Berecz Dénes, Blázsik Zoltán, Bodor Bertalan, Bóra Eszter, Csaba Ákos, Dékány Tamás, Éles András, Farkas Ádám László, Farkas Márton, Fonyó Dávid, Frankl Nóra, Godó Zita, Gyurcsik Judit, Herber Máté, Honner Balázs, Horváth 385 Vanda, Károlyi Gergely, Kiss 902 Melinda Flóra, Korom-Vellás Judit, Kriván Bálint, Kunos Ádám, Kunovszki Péter, Lovas Lia Izabella, Mihálykó Ágnes, Nagy 314 Dániel, Nagy 648 Donát, Novák László, Palincza Richárd, Peregi Tamás, Ratku Antal, Rózsa Levente, Salát Zsófia, Somogyi Ákos, Sümegi Károly, Szabó 895 Dávid, Szalóki Dávid, Szikszay László, Szűcs Gergely, Tallián György, Tóth 666 László Márton, Tóth 796 Balázs, Tóth Réka Judit, Varga 171 László, Véges Márton, Wolosz János.
3 pontot kapott:	11 versenyző.
2 pontot kapott:	4 versenyző.
1 pontot kapott:	5 versenyző.
0 pontot kapott:	3 versenyző.
Nem versenyszerű:	2 dolgozat.

Már regisztráltál?
Új vendég vagy?