Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány

Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A B. 3988. feladat (2007. március)

B. 3988. Egy konvex ötszög oldalainak felezőpontjai F₁, F₂, F₃, F₄, F₅, ebben a sorrendben (az F₅ és az F₁ felezőpontokat tartalmazó oldalak közös csúcsa A). Legyen P az a pont a síkban, amelyre a PF₂F₃F₄ négyszög paralelogramma. Bizonyítsuk be, hogy ekkor a PF₅AF₁ négyszög is paralelogramma.

(3 pont)

A beküldési határidő 2007. április 16-án LEJÁRT.

Megoldás: Legyenek az ötszög csúcsai az F_i pontoknak megfelelő körüljárási sorrendben A,B,C, D,E. Legyen továbbá $\ora{AF_1}=\ora{F_1B}=a$ , $\ora{BF_2}=\ora{F_2C}=b$ , $\ora{CF_3}=\ora{F_3D}=c$ , $\ora{DF_4}= \ora{F_4E} = d$ és $\ora{EF_5}=\ora{F_5A}=e$ . Az a,b,c,d,e vektorok összege 0, hiszen

$2a+2b+2c+2d+2e=\ora{AB}+\ora{BC}+\ora{CD}+\ora{DE}+\ora{EA}=0.$

Mivel a PF₂F₃F₄ négyszög paralelogramma,

$\ora{F_2P}=\ora{F_3F_4}=\ora{F_3D}+\ora{DF_4}=c+d.$

Ezért

$\ora{F_1P}=\ora{F_1B}+\ora{BF_2}+\ora{F_2P}=a+b+c+d=-e=\ora{AF_5},$

tehát a PF₅AF₁ négyszög is paralelogramma.

Statisztika:

160 dolgozat érkezett.

3 pontot kapott: 128 versenyző.

2 pontot kapott: 15 versenyző.

1 pontot kapott: 1 versenyző.

0 pontot kapott: 4 versenyző.

Nem versenyszerű: 12 dolgozat.

A KöMaL 2007. márciusi matematika feladatai

160 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:	128 versenyző.
2 pontot kapott:	15 versenyző.
1 pontot kapott:	1 versenyző.
0 pontot kapott:	4 versenyző.
Nem versenyszerű:	12 dolgozat.