 |
A B. 3989. feladat (2007. március) |
B. 3989. A pozitív a, b, c számokra teljesül, hogy
a2+b2+c2+abc=4.
Bizonyítsuk be, hogy a+b+c
3.
(5 pont)
A beküldési határidő 2007. április 16-án LEJÁRT.
Megoldás: Ha a,b,c
1, akkor a=b=c=1 és így a+b+c=3. Hasonló a helyzet akkor is, ha a,b,c1. Nyilván mindhárom szám kisebb, mint 2. Feltehetjük tehát, hogy a=1-x, b=1-y, c=1-z, ahol -1<x,y,z<1, és az x,y,z számok közül pontosan egy negatív, vagy pedig kettő negatív és a harmadik pozitív. A feltétel szerint
x2+y2+z2+xy+xz+yz-xyz=3(x+y+z),
és az x+y+z0 állítást kell bizonyítani.
Ha x,y,z közül pontosan egy negatív, akkor szimmetria okok miatt feltehető, hogy x<0 és y,z0. Ekkor
x2+y2+z2+xy+xz+yz-xyz=(y2+xy+x2/4)+(z2+xz+z2/4)+(x2/2+yz-xyz),
ahol az összeg első két tagja, teljes négyzet lévén, nemnegatív, a harmadik pedig pozitív, vagyis 3(x+y+z)>0, a+b+c<3. Ha pedig x,y<0 és z>0, akkor
x2+y2+z2+xy+xz+yz-xyz=(x2+xz+z2/4)+(y2+yz+z2/4)+xy(1-z)+z2/2,
ahol az összeg első két tagja ismétcsak nemnegatív, a harmadik és negyedik pedig pozitív. Tehát most is igaz, hogy x+y+z>0, a+b+c<3.
Minden esetben igaz tehát, hogy a+b+c3, egyenlőség pedig csakis a=b=c=1 esetén állhat fenn.
Statisztika:
55 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: Ábrók Levente, Aujeszky Tamás, Bálint Dániel, Blázsik Zoltán, Bogár 560 Péter, Bozi Veronika, Csaba Ákos, Cseh Ágnes, Dékány Tamás, Dibuz Dániel, Dinh Van Anh, Éles András, Fonyó Dávid, Fridrik József Richárd, Fukker Gábor, Honner Balázs, Horváth 385 Vanda, Janto¹ík Laura, Kardos Kinga Gabriela, Kiss 243 Réka, Korom-Vellás Judit, Kunos Ádám, Kurgyis Eszter, Lovas Lia Izabella, Márkus Bence, Nagy 314 Dániel, Sárkány Lőrinc, Sümegi Károly, Szabó 895 Dávid, Szalai Szilárd, Szalkai Balázs, Szalóki Dávid, Szikszay László, Szűcs Gergely, Ta Phuong Linh, Tossenberger Anna, Tóth 666 László Márton, Véges Márton, Wolosz János. 4 pontot kapott: Bodor Bertalan, Nagy-Baló András, Varga 171 László. 3 pontot kapott: 2 versenyző. 2 pontot kapott: 1 versenyző. 1 pontot kapott: 1 versenyző. 0 pontot kapott: 8 versenyző. Nem versenyszerű: 1 dolgozat.
A KöMaL 2007. márciusi matematika feladatai