 |
A B. 3993. feladat (2007. április) |
B. 3993. Egy valós számsorozat bármely 5 egymást követő tagjának összege pozitív, bármely 7 egymást követő tagjának összege negatív. Milyen hosszú lehet a sorozat?
(4 pont)
A beküldési határidő 2007. május 15-én LEJÁRT.
Megoldás: 10 hosszú sorozatra jó példa az 5,-7,5,-7,5,5,-7,5,-7,5 sorozat, és ennek bármely néhány egymást követő tagja is jó sorozatot alkot, vagyis 1
n10 esetén létezik ilyen sorozat. Megmutatjuk, hogy 11 hosszú sorozat már nem adható meg a kívánt módon, ebből következik, hogy n
11 esetén nincsen megfelelő n hosszúságú sorozat. Tegyük fel, hogy mégiscsak létezik ilyen 11 hosszú sorozat. Ebben bármely két egymást követő tag valamelyik irányban kiegészíthető a sorozat 7 egymást követő tagjává, melyek összege negatív, de a hozzávett 5 tag összege pozitív. Ebből következik, hogy a sorozat bármely két egymást követő tagjának összege negatív. Ekkor azonban az első 10 tag összege egyszerre pozitív és negatív is kell, hogy legyen, ami nem lehetséges.
Statisztika:
87 dolgozat érkezett. 4 pontot kapott: 67 versenyző. 3 pontot kapott: 4 versenyző. 2 pontot kapott: 7 versenyző. 1 pontot kapott: 1 versenyző. 0 pontot kapott: 5 versenyző. Nem versenyszerű: 3 dolgozat.
A KöMaL 2007. áprilisi matematika feladatai