A B. 3996. feladat (2007. április)

B. 3996. Van egy téglalap alakú papírlapunk. Ebből húszszögeket szeretnénk előállítani a következő eljárással. Minden lépésben kiválasztunk egy darab papírt (ez kezdetben csak a kiinduló papírlap lehet), és azt egy egyenes vonal mentén kettévágjuk. Ezt az eljárást folytatva, legalább hány vágásra van szükség, hogy legalább száz darab húszszöget kapjunk?

Német versenyfeladat

(5 pont)

A beküldési határidő 2007. május 15-én LEJÁRT.

Megoldás: Minden vágás után eggyel nő a sokszögek száma. A t-edik vágás után tehát t+1 darab sokszögünk van, ezek oldalszámait jelölje . Kezdetben (vagyis a 0-adik vágás után) t=0, a₀=4. Definiáljuk a mennyiséget, ez egy nemnegatív egész szám, hiszen minden összeadandója is az, és K(0)=1. Azt állítjuk, hogy K(t+1)K(t)+1. Valóban, K(t+1) t+2 darab összeadandója közül t darab megegyezik K(t) t+1 darab összeadandója közül t darabbal, a maradék két tag pedig K(t) kimaradt tagjából származtatható úgy, hogy ha ez a kimaradt tag a-3 volt, akkor az a oldalú sokszöget vágtuk ketté egy b és egy c oldalú sokszögre, K(t+1) két kimaradt tagja ekkor b-3 és c-3. Könnyű meggondolni, hogy b+ca+4, vagyis (b-3)+(c-3)(a-3)+1, innen az állítás.

Ha a t-edik vágás után van legalább 100 darab 20-szög, akkor K(t)100(20-3)=1700, de az előzőek szerint K(t)K(0)+t=t+1, ahonnan t1699 következik. Tehát legalább 1699 vágásra szükség van. Ennyi elegendő is: az első 99 vágással mindig négyszögeket gyártva elkészíthetünk 100 darab négyszöget, mindegyiken 16 alkalmas további vágást ejtve belőlük 20-szögeket fabrikálhatunk (és lesz még mellé 1600 darab levágott kis háromszögünk).

Statisztika:

42 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Cséke Balázs, Éles András, Farkas Ádám László, Grósz Dániel, Kunos Ádám, Kunovszki Péter, Szalóki Dávid, Szőke Nóra, Szűcs Gergely, Varga 171 László, Wolosz János.
4 pontot kapott:	Aczél Gergely, Blázsik Zoltán, Farkas Márton, Mészáros András, Nagy 648 Donát, Sümegi Károly, Tossenberger Anna, Tóth 222 Barnabás, Tóth 666 László Márton.
3 pontot kapott:	5 versenyző.
2 pontot kapott:	11 versenyző.
0 pontot kapott:	5 versenyző.
Nem versenyszerű:	1 dolgozat.

A KöMaL 2007. áprilisi matematika feladatai