A B. 3997. feladat (2007. április)

B. 3997. Igazoljuk, hogy ha az x, y, z valós számok szorzata 1, akkor

x⁴+y⁴+z⁴+x²y²+y²z²+z²x²2(x+y+z).

(4 pont)

A beküldési határidő 2007. május 15-én LEJÁRT.

Megoldás: Az a²+b²2ab egyenlőtlenség felhasználásával kapjuk, hogy

x⁴+y⁴+z⁴+x²y²+y²z²+z²x²2(x²y²+y²z²+z²x²).

Ugyanígy a²b²+b²c²2(ab)(ac)=2ab²c miatt

2(x²y²+y²z²+z²x²)2(x²yz+xy²z+xyz²)=2xyz(x+y+z)=2(x+y+z),

a bizonyítandó állítás tehát következik a két egyenlőtlenség konkatenációjából. Az első helyen akkor van egyenlőség, ha x²=y²=z², a második helyen pedig akkor, ha xy=xz=yz. Egyenlőség esete tehát pontosan akkor áll fenn, ha mind a három szám 1-gyel egyenlő.

Statisztika:

109 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	86 versenyző.
3 pontot kapott:	12 versenyző.
1 pontot kapott:	1 versenyző.
0 pontot kapott:	4 versenyző.
Nem versenyszerű:	6 dolgozat.

A KöMaL 2007. áprilisi matematika feladatai