Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A B. 3998. feladat (2007. április)

B. 3998. Egy a, b, c élű téglatestnek kiválasztjuk a P csúcsát. A P-vel szomszédos csúcsokon át fektetünk egy síkot, jelölje a sík P-től való távolságát m. Bizonyítsuk be, hogy

\frac{1}{m^2} = \frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2}.

(4 pont)

A beküldési határidő 2007. május 15-én LEJÁRT.

Megoldás: Vegyünk fel egy derékszögű koordinátarendszert úgy, hogy a P pont az origóba, a P-vel szomszédos csúcsok pedig rendre az (a,0,0), (0,b,0), (0,0,c) pontokba essenek. Ekkor a sík egyenlete x/a+y/b+z/c=1. Legyen

d=\sqrt{\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}},

ekkor a sík normálegyenlete

H(x,y,z)=\frac{1}{ad}x+\frac{1}{bd}y+\frac{1}{cd}z-\frac{1}{d}=0,

vagyis a P(0,0,0) pontnak a síktól vett távolsága

m=|H(0,0,0)|=\left|-\frac{1}{d}\right|=\frac{1}{d},

tehát 1/m2=d2, amint azt bizonyítani kellett.

Statisztika:

94 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:83 versenyző.
3 pontot kapott:2 versenyző.
2 pontot kapott:1 versenyző.
1 pontot kapott:2 versenyző.
0 pontot kapott:1 versenyző.
Nem versenyszerű:5 dolgozat.

A KöMaL 2007. áprilisi matematika feladatai