 |
A B. 3999. feladat (2007. április) |
B. 3999. Egy egységgömbbe szabályos dodekaédert írunk, és megrajzoljuk a gömb középpontjából a dodekaéder csúcsaiba mutató vektorokat. Mi ezeknek a vektoroknak az összege?
(4 pont)
A beküldési határidő 2007. május 15-én LEJÁRT.
Megoldás: Szemeljük ki a dodekaéder egyik A csúcsát. Minden csúcsban három szabályos ötszöglap találkozik. Az A csúcsot a gömb O középpontjával összekötő tA tengely körüli 120o-os forgatás az A csúcsban található lapokat egymás között ciklikusan felcseréli. Az A csúcsban találkozó lapokból kiindulva felépíthetjük a dodekaédert úgy, hogy minden csúcsban, ahol eddig két már felépített lap találkozik, felépítjük a hiányzó harmadik lapot. Tehát a fenti forgatás az egész dodekaédert, következésképpen a szóban forgó v összegvektort is saját magába viszi, vagyis v párhuzamos kell legyen a tA tengellyel. Ugyanígy v párhuzamos az A-val szomszédos bármely B csúcsot O-val összekötő tB tengellyel is. Mivel tA és tB egymással nem párhuzamos, ez csak v=0 esetén lehetséges. Még egyszerűbb a bizonyítás, ha tudjuk, hogy a dodekaéder szimmetrikus az O pontra: ebből rögtön következik, hogy az O-ra vonatkozó tükrözés a dodekaédert, és így a v vektort is saját magába viszi.
Statisztika:
90 dolgozat érkezett. 4 pontot kapott: 52 versenyző. 3 pontot kapott: 26 versenyző. 2 pontot kapott: 3 versenyző. 1 pontot kapott: 1 versenyző. 0 pontot kapott: 5 versenyző. Nem versenyszerű: 3 dolgozat.
A KöMaL 2007. áprilisi matematika feladatai