 |
A B. 4001. feladat (2007. április) |
B. 4001. Három barátnő, Xénia, Yvett és Zita egy napon egymástól függetlenül, véletlenszerűen választott időpontban betérnek egy-egy órára a déltől este 8-ig nyitvatartó internetes kávézóba. Mennyi a valószínűsége, hogy mindhárman összefutnak?
(5 pont)
A beküldési határidő 2007. május 15-én LEJÁRT.
Megoldás: Az egyszerűség kedvéért először vizsgáljuk meg annak a valószínűségét, hogy Xénia és Yvett összefutnak. Mindeketten déli 12 óra (vegyük ezt a 0 időpillanatnak) és délután 7 óra (a 7 időpillanat) között kell, hogy érkezzenek, Xénia mondjuk az x, Yvett az y időpillanatban. Az (x,y) pont tehát az U=[0,7]×[0,7] négyzet egy véletlenszerűen választott pontja, de hogy milyen értelemben, azt egy kicsit pontosítanunk kellene. Világos például, hogy ha 0
a<b7 és 0c<d7, akkor annak valószínűsége, hogy axb és cyd, röviden P(axb,cyd), meg kell hogy egyezzen a két esemény bekövetkezési valószínűségének szorzatával, ezt jelenti az események függetlensége. Tehát
ahol a második egyenlőséget annak értelmezése alapján írtuk fel, hogy Xénia és Yvett is véletleszerűen választottak időpontot, vagyis x és y is ún. egyenletes eloszlású véletlen változók a [0,7] intervallumon. Intuíciónk alapján mindenesetre ezt nyilvánvalónak tekinthetjük.
Az előbbi felismerést úgy is megfogalmazhatjuk, hogy ha egy olyan esemény bekövetkezésének valószínűségére vagyunk kíváncsiak, amelynek megfelelő (x,y) pontok az U négyzeten belül egy tengelypárhuzamos téglalapot alkotnak, akkor ez a valószínűség arányos a téglalap terűletével, ha pedig a téglalap az egész U négyzet, akkor a megfelelő valószínűség 1-gyel egyenlő.
Tekintsük most azt az eseményt, hogy Xénia és Yvett összefutnak, ez azt jelenti, hogy x-1yx+1, vagyis a megfelelő (x,y) pontok az U-n belül egy olyan tartományt alkotnak, amelyet az y=x-1 és y=x+1 egyenletű egyenesek vágnak ki U-ból. Ez a valószínűség is arányos kell legyen a megfelelő tartomány területével, hiszen azt mind belülről, mint kívülről tetszőlegesen megközelíthetjük egymásba nem nyúló téglalapok uniójával (ennek a prezíz kidolgozása az ún. mértékelmélet alapgondolata). Így már könnyen kiszámolhatjuk, hogy a szóban forgó valószínűség 13/49.
Rátérve az eredeti feladat megoldására, Zita érkezéséhez is rendeljünk hozzá egy z valószínűségi változót, amely a [0,7] intervallumon egyenletes eloszlású. A fentiekből már világos lehet, hogy most a K=[0,7]×[0,7]×[0,7] kocka térfogatán belül kell meghatároznunk annak a résznek az arányát, amelyet azon (x,y,z) pontok alkotnak, amelyek egyszerre kielégítik az
x-1yx+1, x-1zx+1, y-1zy+1
feltételeket. Szimmetria okok miatt ennek az L résznek a térfogata 6-szor akkora, mint L azon L' részének, amelyre az x
yz feltételek is teljesülnek. Az xyz feltételek az U kockán belül egy tetraédert határoznak meg, ezt kell elvágnunk az x=z+1 egyenletű síkkal. Ha tehát az L' részt a z=6 egyenletű síkkal kettévágjuk, akkor az szétesik egy olyan 6 magasságú ferde hasábra, amelynek alapja egy egység oldalú derékszögű háromszög, és egy olyan tetraéderre, amelynek ugyanilyen háromszög az alapja, a magassága pedig 1. Ennek alapján L' térfogata 6/2+1/6=19/6, L térfogata 19 egység. Mivel pedig K térfogata 73=343 egység, a keresett valószínűség 19/343, ennyi annak a valószínűsége, hogy mindhárom barátnő összetalálkozik a kávézóban.
Statisztika:
60 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: Almási 270 Gábor András, Blázsik Zoltán, Bodor Bertalan, Bogár 560 Péter, Cseh Ágnes, Dinh Van Anh, Éles András, Farkas Ádám László, Fonyó Dávid, Fridrik József Richárd, Grósz Dániel, Herber Máté, Honner Balázs, Keresztfalvi Tibor, Mercz Béla, Rózsa Levente, Somogyi Ákos, Sümegi Károly, Szabó 895 Dávid, Szalóki Dávid, Szőke Nóra, Szűcs Gergely, Tallián György, Tossenberger Anna, Varga 171 László, Wolosz János. 4 pontot kapott: Balambér Dávid, Bencs 111 Ferenc, Csaba Ákos, Gévay Gábor, Horváth 885 Péter, Kunos Ádám, Szalkai Balázs, Tóth 666 László Márton. 3 pontot kapott: 1 versenyző. 2 pontot kapott: 5 versenyző. 1 pontot kapott: 5 versenyző. 0 pontot kapott: 10 versenyző. Nem versenyszerű: 5 dolgozat.
A KöMaL 2007. áprilisi matematika feladatai