A B. 4010. feladat (2007. május)

B. 4010. A p(x) és q(x) valós együtthatós polinomok semmilyen valós x esetén nem veszik fel ugyanazt az értéket, és minden x-re

p(q(x))=q(p(x)).

Igazoljuk, hogy a p(p(x)) és a q(q(x)) polinomok sem vesznek fel ugyanolyan értéket semmilyen x-re.

(4 pont)

A beküldési határidő 2007. június 15-én LEJÁRT.

Megoldás: Tegyük fel, hogy az állítással ellentétben p(p( $\alpha$ ))=q(q( $\alpha$ ))=c valamilyen $\alpha$ valós számra. Legyen a=p( $\alpha$ ), b=q( $\alpha$ ), ekkor p(a)=q(b)=c. Az első feltétel szerint a $\ne$ b, a második feltétel szerint pedig q(a)=q(p( $\alpha$ ))=p(q( $\alpha$ ))=p(b)=d. A p(a) $\ne$ q(a) feltétel miatt c $\ne$ d. A p függvény grafikonja összeköti az (a,c) pontot a (b,d) ponttal, a q függvény grafikonja pedig az (a,d) pontot a (b,c) ponttal. A két grafikon valahol metszi egymást: létezik olyan a< $\beta$ <b szám, amelyre p( $\beta$ )=q( $\beta$ ). Ez viszont ellentmond az első feltételnek.

Statisztika:

37 dolgozat érkezett.

4 pontot kapott: Ágoston Tamás, Almási 270 Gábor András, Aujeszky Tamás, Blázsik Zoltán, Bodor Bertalan, Cseh Ágnes, Éles András, Énekes Péter, Gele Viktória, Godó Zita, Grósz Dániel, Keresztfalvi Tibor, Korom-Vellás Judit, Lovas Lia Izabella, Márkus Bence, Peregi Tamás, Réti Dávid, Somogyi Ákos, Szalóki Dávid, Szűcs Gergely, Tóth 666 László Márton, Varga 171 László, Wagner Zsolt.

3 pontot kapott: Aczél Gergely, Dinh Hoangthanh Attila, Konkoly Csaba, Kunos Ádám, Mihálykó Ágnes, Szalkai Balázs, Szőke Nóra, Tossenberger Anna, Tóth 222 Barnabás.

2 pontot kapott: 1 versenyző.

1 pontot kapott: 1 versenyző.

Nem versenyszerű: 3 dolgozat.

A KöMaL 2007. májusi matematika feladatai

37 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	Ágoston Tamás, Almási 270 Gábor András, Aujeszky Tamás, Blázsik Zoltán, Bodor Bertalan, Cseh Ágnes, Éles András, Énekes Péter, Gele Viktória, Godó Zita, Grósz Dániel, Keresztfalvi Tibor, Korom-Vellás Judit, Lovas Lia Izabella, Márkus Bence, Peregi Tamás, Réti Dávid, Somogyi Ákos, Szalóki Dávid, Szűcs Gergely, Tóth 666 László Márton, Varga 171 László, Wagner Zsolt.
3 pontot kapott:	Aczél Gergely, Dinh Hoangthanh Attila, Konkoly Csaba, Kunos Ádám, Mihálykó Ágnes, Szalkai Balázs, Szőke Nóra, Tossenberger Anna, Tóth 222 Barnabás.
2 pontot kapott:	1 versenyző.
1 pontot kapott:	1 versenyző.
Nem versenyszerű:	3 dolgozat.

Már regisztráltál?
Új vendég vagy?