A B. 4014. feladat (2007. szeptember)

B. 4014. Az ABC hegyesszögű háromszög csúcsainak a körülírt kör középpontjára vonatkozó tükörképei rendre A', B' és C'. Bizonyítsuk be, hogy az A'BC, AB'C, ABC' háromszögek területének összege egyenlő az ABC háromszög területével.

(3 pont)

A beküldési határidő 2007. október 15-én LEJÁRT.

Megoldás: Legyen az ABC háromszög magasságpontja M, ekkor a BM egyenes merőleges az AC egyenesre. Mivel AA' a körülírt kör egy átmérője, Thalesz tétele miatt az A'C egyenes is merőleges AC-re, vagyis A'C párhuzamos BM-mel. Ugyanígy kapjuk, hogy A'B párhuzamos CM-mel. Ezért az A'BMC négyszög egy paralelogramma, melyet a BC átlója két egybevágó háromszögre, a BMC és a CA'B háromszögekre bont fel. Ezek területe tehát egyenlő.

Szimmetria okok miatt az AMB és CMA háromszögek területe is rendre megegyezik a BC'A, illetve az AB'C háromszögek területével. A szóban forgó háromszögek területének összege tehát megegyezik az AMB, BMC és CMA háromszögek területének összegével. Ez utóbbi viszont nyilván egyenlő az ABC háromszög területével.

Statisztika:

218 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:	181 versenyző.
2 pontot kapott:	16 versenyző.
1 pontot kapott:	14 versenyző.
0 pontot kapott:	5 versenyző.
Nem versenyszerű:	2 dolgozat.

A KöMaL 2007. szeptemberi matematika feladatai