A B. 4017. feladat (2007. szeptember)

B. 4017. A k₁ kört a k₂ kör belülről érinti az A pontban. A k₂ körhöz egy A-tól különböző D pontjában húzott érintő a k₁ kört a B és a C pontokban metszi. Bizonyítsuk be, hogy AD felezi a BAC szöget.

(4 pont)

A beküldési határidő 2007. október 15-én LEJÁRT.

Megoldás: A k₁ kör középpontját jelölje O, a k₂-ét K, ekkor az A,K,O pontok egy egyenesre esnek. Ha a D pont is erre az egyenesre illeszkedik, akkor az állítás nyilvánvaló. Az általánosság megszorítása nélkül feltehetjük hát, hogy D közelebb van B-hez, mint C-hez. Az OAC, OCB, OBA és KDA háromszögek egyenlőszárúak. Legyen tehát

$CAO\angle=OCA\angle=\alpha,\ BCO\angle=OBC\angle=\beta, \ ABO\angle=OAB\angle=\gamma$

és ADK $\angle$ =KAD $\angle$ = $\delta$ . Irányított szögekkel számolunk, tehát ha C az AO egyenesnek ugyanarra az oldalára esik, mint B, akkor az $\alpha$ szög negatív. Tudjuk még, hogy a BDK és KDC szög is derékszög. Az ADB és az ADC háromszög szögeinek összege is 180^o, vagyis

( $\gamma$ - $\delta$ )+(90^o- $\delta$ )+( $\beta$ + $\gamma$ )=( $\alpha$ + $\delta$ )+(90^o+ $\delta$ )+( $\alpha$ + $\beta$ ).

Innen 2 $\gamma$ -2 $\delta$ =2 $\alpha$ +2 $\delta$ , tehát DAB $\angle$ = $\gamma$ - $\delta$ = $\alpha$ + $\delta$ =CAD $\angle$ , amint azt bizonyítani kellett.

Statisztika:

157 dolgozat érkezett.

4 pontot kapott: 132 versenyző.

3 pontot kapott: 11 versenyző.

2 pontot kapott: 4 versenyző.

0 pontot kapott: 5 versenyző.

Nem versenyszerű: 5 dolgozat.

A KöMaL 2007. szeptemberi matematika feladatai

157 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	132 versenyző.
3 pontot kapott:	11 versenyző.
2 pontot kapott:	4 versenyző.
0 pontot kapott:	5 versenyző.
Nem versenyszerű:	5 dolgozat.

Már regisztráltál?
Új vendég vagy?